皖南八校2011届高三第三次联考数学试题(理)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.
()
A.i B.-i C.1 D.-1
2.已知集合
,
,则
=( )
A.
B.
C.
D.
3.“
”是“直线
与直线
相互垂直”的( )
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知双曲线
的离心率为
,则椭圆
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
5.在
中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直一部分线
上的任一点,则
=( )
A.6 B.-6 C.12 D.-12
6.已知
中,已知
则
= ( )
A.30° B.60° C.120° D.30°或150°
7.已知
( )
A.0 B.6 C.8 D.
8.一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 ( )
A.
B.
C.
D.
10.设x,y满足约束条件
,若目标函数
的最大值为12,则
的最小值为( )
A.
B.
C.1 D.2
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填在答题卡上。 11.
展开式中的常数项等于
。
12.如下图,运行一程序框图,则输出结果为
。
13.已知直线
的参数方程是
(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为
,则直线
被圆C所截得的弦长等于
。
14.有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不
能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则没的安排方法有
种。(用数学作答)
15.关于
,给出下列五个命题:
①若
是周期函数;
②若
,则
为奇函数;
③若函数
的图象关于
对称,则
为偶函数;
④函数
与函数
的图象关于直线
对称;
⑤若
,则
的图象关于点(1,0)对称。
填写所有正确命题的序号
。
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 16.(本小题满分12分)
已知直线
与函数
的图像的两个相邻交点之间的距离为
。
(I)求
的解析式,并求出
的单调递增区间;
(II)将函数
的图像向左平移
个单位得到函数
的图像,求函数
的最大值及
取得最大值时x的取值集合。
17.(本小题满分12分)
某种植企业同时培育甲、乙两个品种杉树幼苗,甲品种杉树幼苗培育成功则每株利润80元,培育失败,则每株亏损20元;乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元,培育失败,则每株亏损50元。统计数据表明:甲品种杉树幼苗培育成功率为90%,乙品种杉树幼苗培育成功率为80%。假设每株幼苗是否培育成功相互独立。
(I)求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率;
(II)记
为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润,求
的分布列及其期望。
18.(本小题满分13分)
如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,点F在CE上,且
平面ACE。
(I)求证:
平面BCE;
(II)求二面角B—AC—E的正弦值;
(III)求点D到平面ACE的距离。
19.(本小题满分13分)
已知数列
的前n项和为
(I)求
的通项公式;
(II)数列
,求数列
的前n项和
;
(III)若
对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆
的右焦点为F
2(1,0),点
在椭圆上。
(I)求椭圆方程;
(II)点
在圆
上,M在第一象限,过M作圆
的切线交椭圆于P、Q两点,问|F
2P|+|F
2Q|+|PQ|是否为定值?如果是,求出定值,如不是,说明理由。
21.(本小题满分13分)
已知
(I)a=2时,求
和
的公共点个数;
(II)a为何值时,
的公共点个数恰为两个。
参考答案
1. D 2.C 3. B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A 9..D 10.A
11. 12. 13. 4 14. 50 15.①③
16.(Ⅰ)
由题意可知函数的周期,即
所以
令其中,解得其中
即的递增区间为
(Ⅱ)
则的最大值为,
此时有,即
即,其中.解得()
所以当取得最大值时的取值集合为
17.(Ⅰ)
(Ⅱ)的可能取值为230,130,30,-70
的分布列
|
230 |
30 |
130 |
-70 |
P |
0.9×0.8 |
0.9×0.2 |
0.1×0.8 |
0.1×0.2 |
即:
|
230 |
30 |
130 |
-70 |
P |
0.72 |
0.18 |
0.08 |
0.02 |
期望.E
=230×0.72+30×0.18+130×0.08+(-70)×0.02=180
18.(I)
(II)连结AC、BD交于G,连结FG,
∵ABCD为正方形,∴BD⊥AC, ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AC,∴AC⊥平面AFG
∴FG⊥AC,∠FGB为二面角B-AC-E的平面角,由(I)可知,AE⊥平面BCE,
∴AE⊥EB,又AE=EB,AB=2,AE=BE=
,
在直角三角形BCE中,CE=
在正方形ABCD中,BG=
,在直角三角形BFG中,
(III)由(II)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,
D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离,BF⊥平面ACE,
线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离,即为D到平面ACE的距离.
故D到平面的距离为
.
另法:用等体积法亦可。
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为z轴,AB所在直线为x轴,过O点平行于AD的直线为y轴,建立空间直角坐标系O—xyz,如图.
面BCE,BE
面BCE,
,
在
的中点,
设平面AEC的一个法向量为
,
则
令
得
是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为,
∴二面角B—AC—E的正弦值为
(III)∵AD//z轴,AD=2,∴
,
∴点D到平面ACE的距离
19.
解答:(1)由
易求:
代入
得
(2)数列
于是
两式相减得
(3)
∴当n=1时,
当
时,即,,所以 ∴对一切正整数n,
取最大值是
又
即
20.
(1)
右焦点为
左焦点为
,点
在椭圆上
,
所以椭圆方程为
(2)设
连接OM,OP,由相切条件知:
同理可求
所以
为定值。
21. (1) 联立
得
整理得
即联立
求导得
到极值点分别在-1和
,且极大值极小值都是负值。故交点只有一个。
(2)联立
得
整理得
即联立
如图:求导h(x)可以得到极值点分别在-1和
处,画出草图
当
时
与
仅有一个公共点(因为(1,1)点不在
曲线上)
故
时恰有两个公共点。
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