2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）（理）

    2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）（理）
    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．                                               
    1．复数的虚部记作，则
    A．               B．                          C．                          D．
    2．已知全集，，则集合
    A．         B．          C．         D．
    3．设随机变量服从正态分布，若，则的值为
    A．             B．                C．5                  D．3
    4．已知函数，则的最小值为
    A．          B．                C．            D．
    5．已知，是的导函数，即，，…，，，则
    A．     B．     C．      D．
    6．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为
    A．     B．    C．      D．
    7．三个共面向量、、两两所成的角相等，且，，，则 等于
    A．               B．6                 C．或6             D．3或6
    8．正方形的边长为2，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点，则三棱锥的体积是
    A．                B．               C．             D．
    二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
    （一）必做题（9～13题）
    9．已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为       ．
    10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为           ．
    11．若，则 的值为        ．
    12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数的图象，则该质点运动的总路程      厘米．
    　　　　　　
    13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解．当是正整数的最佳分解时，我们规定函数，例如.
    关于函数有下列叙述：①，②，③，④.其中正确的序号为      （填入所有正确的序号）．
    （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
    14．（几何证明选讲选做题）在梯形中，，，，点、分别在、上，且，若，则的长为      ．
    15．（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为       ．
    三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
    16．（本小题满分12分）
    如图2，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
    （1）求渔船甲的速度；
    （2）求的值．
    　　　　　　　　　　
    17．（本小题满分12分）
    某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．
    

视觉		视觉记忆能力
		偏低	中等	偏高	超常
听觉     记忆     能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3
	偏高	2		0	1
	超常	0	2	1	1

    由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．
    （1）试确定、的值；
    （2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；
    （3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望．
    18．（本小题满分14分）
    一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中，，，．
    （1）求证：；
    （2）求二面角的平面角的大小．
    　　　　　　　　　　
    19．（本小题满分14分）
    已知数列的前项和，且．
    （1）求数列｛a_n｝的通项公式；
    （2）令，是否存在（），使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．
    20．（本小题满分14分）
    已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
    （1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
    （2）求直线的方程；
    （3）求三角形面积的最大值．
    21．（本小题满分14分）
    已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
    （1）求实数的值；
    （2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
    （3）当时，证明．
    参考答案
    一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
    

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	D	C	A	B	A	B	C	B

    二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
    9．      10．      11．4      12．11       13．①③      14．
    15．或或或
    三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
    16．（本小题满分12分）
    （本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．）
    解：（1）依题意，，，，．
    在△中，由余弦定理，得
    
    ．
    解得．所以渔船甲的速度为海里/小时．
    答：渔船甲的速度为海里/小时．
    （2）方法1：在△中，因为，，， 
    　
    ，
    由正弦定理，得．
    即．
    答：的值为．
    方法2：在△中，因为，，，，
    由余弦定理，得．
    即．
    因为为锐角，所以．
    答：的值为．
    17．（本小题满分12分）
    （本小题主要考查概率与统计的概念、随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力等．）
    解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，
    则，解得．
    所以．
    答：的值为6，的值为2．
    （2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．
    方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，
    则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，
    所以．
    答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．
    方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件，
    所以．
    答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为．
    （3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，
    所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，的可能取值为0，1，2，3，
    因为， ，
    ，，
    所以的分布列为
    

	0	1	2	3

    所以．
    答：随机变量的数学期望为．
    （若将抽取的3人理解为可重复抽取，而采用二项分布求解，可酌情给分）
    18．（本小题满分14分）
    （本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）
    方法1：（1）证明：因为，，所以，即．
    又因为，，所以平面．
    因为，所以．
    （2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．
    设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
    　
    解得
    所以，．
    过点作于点，连接，
    由（1）知，，，所以平面．
    因为平面，所以．
    所以为二面角的平面角．
    由（1）知，平面，平面，
    所以，即△为直角三角形．
    在△中，，，则．
    由，解得．
    因为．
    所以．
    所以二面角的平面角大小为．
    方法2：（1）证明：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．
    设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
    　
    解得
    所以，．
    以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．
    因为，
    所以．
    所以．
    　
    （2）解：设是平面的法向量，因为，
    所以即
    取，则是平面的一个法向量．
    由（1）知，，又，，所以平面．
    所以是平面的一个法向量．
    因为，
    所以
    而等于二面角的平面角，
    所以二面角的平面角大小为．
    方法3：（1）证明：因为，，所以，即．
    又因为，，所以平面．
    因为，
    所以．
    （2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．
    设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
    　
    解得
    所以，．
    以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．
    设是平面的法向量，
    则即
    
    取，则是平面的一个法向量．
    由（1）知，，又，，
    所以平面．
    所以是平面的一个法向量．
    因为，
    所以．
    而等于二面角的平面角，
    所以二面角的平面角大小为．
    19．（本小题满分14分）
    （本小题主要考查等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，以及函数与方程、化归与转化等数学思想．）
    （1）解法1：当时，，
    即．
    所以数列是首项为的常数列．
    所以，即．
    所以数列的通项公式为．
    解法2：当时，，
    即．
    所以．
    因为，符合的表达式．
    所以数列的通项公式为．
    （2）假设存在，使得、、成等比数列，
    则．
    因为（n≥2），
    所以
    ．
    这与矛盾．
    故不存在（），使得、、成等比数列．
    20．（本小题满分14分）
    （本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．）
    解：（1）因为，所以，所以．
    由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．
    因为，所以，所以．
    故双曲线离心率的取值范围为．
    （2）方法1：因为，
    所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
    因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，
    所以联立方程组
    消去，，即得直线的方程为．
    方法2：设，已知点，
    则，．
    因为，所以，即．
    整理得．因为，所以．因为，，根据平面几何知识可知，．因为，所以．所以直线方程为．即．所以直线的方程为．
    方法3：设，已知点，则，．因为，所以，即．整理得．因为，所以．这说明点在直线上．
    同理点也在直线上．所以就是直线的方程
    
    （3）由（2）知，直线的方程为，
    所以点到直线的距离为．
    因为，
    所以三角形的面积．
    以下给出求三角形的面积的三种方法：
    方法1：因为点在双曲线上，
    所以，即．
    设，
    所以．
    因为，
    所以当时，，当时，．
    所以在上单调递增，在上单调递减．
    当，即时，，
    当，即时，．
    综上可知，当时，；当时，．
    方法2：设，则．
    因为点在双曲线上，即，即．
    所以．
    令，则．
    所以当时，，当时，．
    所以在上单调递减，在上单调递增．
    当，即时，，
    当，即时，．
    综上可知，当时，；当时，．
    方法3：设，则．
    因为点在双曲线上，即，即．
    所以．
    令，
    所以在上单调递增，在上单调递减．
    因为，所以，
    当，即时，，此时．
    当，即时，，此时．
    综上可知，当时，；当时，．
    21．（本小题满分14分）
    （本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及创新意识．）
    （1）解：因为，所以．
    因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
    所以，即．
    所以．
    （2）解：由（1）知，，
    所以对任意恒成立，即对任意恒成立．
    令，
    则，
    令，
    则，
    所以函数在上单调递增．
    因为，
    所以方程在上存在唯一实根，且满足．
    当，即，当，即，
    所以函数在上单调递减，在上单调递增．
    所以．
    所以．
    故整数的最大值是3．
    （3）证明1：由（2）知，是上的增函数，
    所以当时，．
    即．
    整理，得．
    因为， 所以．
    即．
    即．
    所以．
    证明2：构造函数，
    则．
    因为，所以．
    所以函数在上单调递增．
    因为， 所以．
    所以．
    即．
    即．
    即．
    所以．
    

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