2011届高考数学仿真卷三(上海理科)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1. 不等式
的解集是___________.
2.若函数
与
的图像关于直线
对称,则
.
3.经过抛物线
的焦点,且以
为方向向量的直线的方程是
.
4. 计算:
.
5. 在二项式
的展开式中,含
的项的系数是
(用数字作答).
6. 若数列
为等差数列,且
,则
的值等于
.
7. 已知直线
平面
,直线
在平面
内,给出下列四个命题:①
;
②
;③
;④
,其中真命题的序号是
.
8. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球,现从盒内一个一个地摸取,假设每个球摸到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回,当拿到白球后停止摸取,则摸取次数
的数学期望是
.
9. 极坐标方程
所表示曲线的直角坐标方程是
.
10.在△
中,已知最长边
,
,?
=30°,则?
=
.
11.已知函数
,若
且
,则
的取值范围是
.
12.在平行四边形
ABCD中,
AB=1,
AC=
,
AD=2;线段
PA⊥平行四边形
ABCD所在的平面,且
PA =2,则异面直线
PC与
BD所成的角等于
(用反三角函数表示).
13.如图,在梯形
ABCD中,
AD//
BC,
AC、
BD相交于
O,记△
BCO、△
CDO、△
ADO的面积分别为
S1、
S2、
S3,则
的取值范围是
.
14. 已知函数
满足:①对任意
,恒有
成立;②当
时,
.若
,则满足条件的最小的正实数
是
.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.如图给出的是计算
的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是……………………( )
(A)
;(B)
;
(C)
;(D)
.
16. 已
知
是
上的增函数,
那么
a的取值范围是 ……………………………( )
(A) (1,+∞) ; (B) (0,3);
(C) (1,3); (D) [
,3).
17.在正方体
的侧面
内有一动点
到直线
与直线
的距离相等,则动点
所在的曲线的形状为…………( )
18.已知有穷数列A:
(
).定义如下操作过程T:从
A中任取两项
,将
的值添在A的最后,然后删除
,这样得到一系列
项的新数列A
1(约定:一个数也视作数列);对A
1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列
项的新数列A
2,如此经过
次操作后得到的新数列记作A
k .设A:
,则A
3的可能结果是……………………………( )
(A)0; (B)
; (C)
; (D)
.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)
如图,用半径为
cm,面积为
cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计),该容器最多盛水多少?(结果精确到0.1
cm3)
20.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知向量
,
,
.
(1)若
,求向量
、
的夹角
;
(2)若
,函数
的最大值为
,求实数
的值.
21.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知圆
.
(1)设点
是圆
C上一点,求
的取值范围;
(2)如图,
为圆
C上一动点,点
P在
AM上,点
N在
CM上,且满足
求
的轨迹的内接矩形的最大面积.
22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
设虚数
满足
为实常数,
,
为实数).
(1) 求
的值;
(2) 当
,求所有虚数
的实部和;
(3) 设虚数
对应的向量为
(
为坐标原点),
,如
,求
的取值范围.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
设二次函数
,对任意实数
,有
恒成立;数列
满足
.
(1)求函数
的解析式和值域;
(2)试写出一个区间
,使得当
时,数列
在这个区间上是递增数列,
并说明理由;
(3)已知
,是否存在非零整数
,使得对任意
,都有
恒成立,若存在,求之;若不存在,说明理由.
参考答案 一、填空题 1. (-1,3) 2.
3.
4.
5.
6.
7.①,④.8.
9.
10.?
=135° 11.
12.arccos
或
13.
14.
二、选择题 15.A;16.D;17.B;18.
三、解答题 19.(本题
满分12分)
解:设铁皮扇形的半径和弧长分别为
R、
l,圆锥形容器的高和底面半径分别为
h、
r,
则由题意得
R=,由
得
; …………………………………2分
由
得
;…………………………5分
由
得
;……………………………………8分
由
所以该容器最多盛水1047.2 cm
3 ……………………………………………12分
(说明:
用3.14得1046.7毫升不扣分)
20.(本题满分14分) 本题共有2个小题
,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解:(1)当
时,
, ……………………1分
所以
………………………………… 4分
因而
; ………………………………………………6分
(2)
,…………………7分
………………………………10分
因为
,所以
…………………………11分
当
时,
,即
, …………………………12分
当
时,
,即
.……………………13分
所以
. ………………………………………………14分
21.(本题满分14分) 本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解:(1)∵点在圆
C上,∴可设
;…………2分
,………………………4分
从而
.……………………………………6分
(2)
∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|.……………………………8分
又
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)
为焦点的椭圆.…………10分
且椭圆长轴长为
焦距2c=2.
∴点N的轨迹是方程为
………………………………………12分
所以轨迹E为椭圆,其内接矩形的最大面积为
.………………………………14分
22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
解:(1)
, …………………………2分
……………………………4分
(或
)
(2)
是虚
数,则
,
的实部为
;
当
2
.……7分
当
2
.………………10分
(3)解:
①
恒成立,
由
得,当
时,
;当
时,
.…………12分
②
如
则
当
. ………………14分
当
……………16分
23.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
解:(1)由
恒成立等价于
恒成立,………1分
从而得:
,化简得
,从而得
,所以
,………3分
其值域为
.……………………………………………………4分
(2)解:当
时,数列
在这个区间上是递增数列,证明如下:
设
,则
,所以对一切
,均有
;………………………………………7分
,
从而得
,即
,所以数列
在区间
上是递增数列.……10分
注:本题的区间也可以是
、
、
等无穷多个.
另解:若数列
在某个区间上是递增数列,则
即
………7分
又当
时,
,所以对一切
,均有
且
,所以数列
在区间
上是递增数列.…………10分
(3)由(2)知
,从而
;
,即
;………12分
令
,则有
且
;
从而有
,可得
,所以数列
是
为首项,公比为
的等比数列,…………………………14分
从而得
,即
,
所以
,
所以
,所以
,
所以,
.………………16分
即
,所以,
恒成立
(1) 当
为奇数时,即
恒成立,当且仅当
时,
有最小值
为。
(2) 当
为偶数时,即
恒成立,当且仅当
时,有最大值
为。
所以,对任意
,有
。又
非零整数,
……………18分
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