湖南省岳阳县第一中学2012届高三第二次阶段考试试卷数学试题（理科）

    湖南省岳阳县第一中学2012届高三第二次阶段考试试卷数学试题（理科）
    湖南省岳阳市岳阳县第一中学　邓超华
    总分:150分  时量:120分钟    命题人:邓超华   
    一、             选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.         若命题则是（    ）
    A．    B.     C.      D.   
    2.         下列各式中,值为是（    ）
    A．    B.     C.    D.
    3.         已知“”、“”和“”都是真命题,那么“”是“”的        条件（    ）
    A．充分不必要    B．必要不充分    C．充要    D．既不充分也不必要
    4.         已知锐角的面积为,则角的大小为 (     )
    A.   B.    C.    D. 
    5.         若,则的图象是（     ）    
    
    6.         已知向量与向量不共线,又函数在有最大值,则的取值范围是（     ）
    A．    B.     C.     D.
    7.         若函数的导函数为,则函数的单调递减区间为（     ）
    A．［－1,0）    B．［）、（0,1］    C．［1,］    D．（－∞,）、［）
    8.         定义在上的函数满足：,且当
    时,,则（    ）
    A．       B．        C．       D．
    二、填空题：本大题共7小题；每小题5分,共35分,把答案填在题中的横线上.
    9.         设复数（其中i为虚数单位）,则z的实部为            ．
    10.     由抛物线和所围成图形的面积为            .
    11.     如下程序框图中,若输出的值是4,则输入的取值范围是          .
    
    12.     已知的部分图象如下
    图所示,则其函数解析为                             .
    
    13.     已知为内一点,满足.若
    则实数=       .
    14.     给出以下四个命题：
    ①中,.
    ②中,为钝角.
    ③函数与是同一函数.
    ④将函数的图象上每一点的纵坐标缩为原来的倍,再将横坐标缩为原来的倍,再将整个图象沿轴向左平移,可得,则原函数是2sin(2).
    在上述四个命题中,真命题的序号是                （写出所有真命题的序号）.
    15.     已知平面向量满足,且的夹角为,则的取值范围是           .
    二、             解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
    16.     （本小题满分12分）
    已知函数
    （1）判断函数的奇偶性，并加以证明;
    （2）求使时的取值范围.
    17.     （本小题满分12分）
    已知,定义函数,且的周期为.
    （1）       求的最大值；
    （2）       若，求满足的值.
    18.     （本小题满分12分）
    如图,梯形中,,是上的一个动点,
    (1) 求最小值，并指出此时点位置；
    (2) 求取得最大值时的值.
    
    19.      （本小题满分12分）
    已知是定义在上的函数,其图象交轴于、、三点,若点坐标为,且在和上有相同单调性,在和上有相反的单调性.
    （1）       求的值；
    （2）       求的取值范围.
    20.     （本小题满分13分）
    在特定时段内,以点为中心的5海里以内海域被设为警戒水域.点正南30海里处有一个雷达观测点.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点南偏东且与点相距海里的位置,经过40分钟又测得该船已行驶到点南偏东（其中）且与点相距海里的位置.
    （1）       求该船的行驶速度（单位：海里/时）；
    （2）       若该船不改变方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域；
    若会,试求从点到进入警戒水域,船还要行驶多长时间,若不会,
    请说明理由.
    
    21.     （本小题满分14分）
    设函数,且,其中是自然对数的底数.
    （1）求与的关系；
    （2）若在其定义域内为单调函数,求的取值范围；
    （3）设,若在上至少存在一点,使得＞成立,
    求实数的取值范围.
    理科数学参考答案
    一、选择题
    
    二、填空题
                      
    三、解答题
    16.    【解析】：（1）由得，关于原点对称；……………………………2分
      又，所以是奇函数；…………………6分
    （2）由，得，………………………………………………………8分
      ……………………………………………10分
    解得 ………………………………………………………………………………12分
    17.    【解析】：（1）
    ………………………………1分
      
      
       =…………………………………………………………………4分
    又因函数的周期为,
    ,…………………………………………………………………6分
    ……………………………………………………8分
    （2）令
    ……………………………………10分
    
    即……………………………………………………………………………12分
    18.    【解析】：(1)以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系。
    则,令
    有
    所以，………3分
    当时，最小
    
    此时为线段中点……………………………6分
    (2)由(1)知，，…………………………8分
    ，
    \，
    即，
    当且仅当时取到等号，………………………………10分
    此时…………12分
    （导数法视解题情况相应给分）
    19.    【解析】：（1）易知……………………………………………2分
    又由题知在和上有相反单调性,
    所以,在处有极值,………………………………………………………………4分
    …………………………………………………………………………5分
    （2）由,又
    \…………………………………………………………………………………6分
    也所以,,
    ,
    又在和上有相反的单调性,
    所以,………………………………………………8分
    由题易知的横坐标是方程的两根,
    \
    …………………………………………………………………9分
    由知：
    又
    ………………10分
    \
    \………………………………………12分
    20.    【解析】：（1）如图：
    
    
    由于……………………1分
    由余弦定理得
    ………………………………………………4分
    所以船的行驶速度为（海里/小时）………………………………………5分
    （2）解法（一）：如图所示,以为原点建立平面直角坐标系,
    设点,与轴的交点为.……………………………………………6分
    由题设有,
    …………8分
    所以过点的直线的斜率,直线方程为：,………9分
    又点到直线的距离为
    所以船会进入警戒水域.
    又设直线上点到点距离为.…………………………………………10分
    则…………………11分
    由图形易知,则………………………12分
    所以从点到进入警戒水域,船还要行驶小时.……………………13分
    解法（二）：如图所示,设直线与延长线相交于点,在中,由余弦定理得
    ,…………………………7分
    在中,由正弦定理得
    ……………………………………………………9分
    由于所以点在点和点之间,且………10分
    过点作于点,则为点到直线的距离,
    在中,,
    即所以船会进入警戒水线.………………………………11分
    又易知,
    
    又设直线上点到点距离为,则由图易知
    
    所以从点到进入警戒水域,船还要行驶小时.…………………13分
    21.    【解析】：（1）由题意得           
    而,所以、的关系为……………………………………………………3分
    （2）由（1）知,
    …………………………………………………………5分
    令,要使在其定义域内是单调函数,只需在内满足：恒成立. …………………………………………………………6分
    【解法一】①当时,,
    因为＞,所以＜0,＜0,
    ∴在内是单调递减函数,即适合题意；………………………………7分
    ②当＞0时,,其图像为开口向上的抛物线,对称轴为,
    ∴,
    只需,即,
    ∴在内为单调递增函数,故适合题意. …………………………………8分
    ③当＜0时,,其图像为开口向下的抛物线,对称轴为
    只要,即时,在恒成立,故＜0适合题意.                     
    综上所述,的取值范围为.  …………………………………………………9分
    【解法二】  由于
    ①令恒成立。
    又易知，所以，只须……………………………………………8分
    ②同理，令恒成立。
    所以，只须
    综上所述,的取值范围为. ……………………………………………………9分
    （3）【解法一】∵在上是减函数,
    ∴时,；时,,即,……………………10分
    ①当时,由（2）知在上递减＜2,不合题意；…11分
    ②当0＜＜1时,由,
    又由（2）知当时,在上是增函数,
    ∴＜,不合题意…12分 
    ③当时,由（2）知在上是增函数,＜2,
    又在上是减函数,故只需＞,,
    而,,
    即  ＞2, 解得＞ ,
    综上,的取值范围是. ……………………… ………………………………14分
    【解法二】依题意在上有解，
    所以，在上有解，
    即在上有解，时显然不成立。
    所以，在上有解，令……………………11分
    则只须
    又
    显然，，………………………13分
    \在单调递减，所以，
    也\即………………………………………………………14分
    

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