已知,(),直线与函数、的图像都
相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1.
(1)求直线的方程及的值;
(2)若(其中是的导函数),求函数的最大值;
(3)当时,求证:.
20、(本小题满分分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点、分别是椭圆的左、右焦点,在椭圆的右准线上的点,满足线段的中垂线过点.直线:为动直线,且直线与椭圆交于不同的两点、.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若在椭圆上存在点,满足(为坐标原点),求实数的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当取何值时,的面积最大,并求出这个最大值.
参考答案
一、选择题
1、(D);“特称命题”的否定一定是“全称命题”,故D不正确。
2、(C);设,由,
得
3、(A);由于
4、(D);首先注意到“是”时,“”则①应该是“”;再看②,由于“否”时,,会想到②应该是“”;当“”时,“”;
5、(D);由,得
6、(A);如图,直线从原点向右移动时,移动到时,再往右移不等式组所表示的区域就不能构成三角形了;又从点向右移动时,不等式组所表示的区域又为三角形;
7、(D);由,由于,且函数在上是增函数,那么的取值范围是;
8、(D);由或,得函数在区间上为增函数,在区间上为减函数;又为偶函数,得函数的图象关于直线对称;
由,由于即得结论。
二、填空题
9、五个点中有三点共线,那么可构成三角形的个数为。
10、;由于即第6组中抽取的号码的个位数为4,由于第6组中号码的十位数均为5,于是得结论;
11、;经过四面体的棱SA与点H作平面,与棱BC交于点D. 易知,棱BC⊥平面SAD. 在Rt△SAD中,有.
又 ∵ △SBC、△HBC、△ABC有公共边BC,
∴ ,即
12、∵x的一次项是由两个括号中取与其于n-2括号个括号取常数相乘得到,∴an=,于是==18(-),所以)=×18)=18.
13、直线的参数方程为 ,曲线可以化为
将直线的参数方程代入上式,得.
设A、B对应的参数分别为,∴
AB=.
14、∵PA切于点A,B为PO中点,∴AB=OB=OA,
∴,∴,在△POD中由余弦定理得
=
∴.
三、解答题
15、(1)对应用正弦定理,变形,有,所以
或.
若,且,所以 ,;于是,有
,得,所以三角形.
(2)∵ ,∴,
∴,而,
∴,∴,
由于,所以.
16、(1).
(2),
,
当时,.
(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围.
研究的结论可以是:由,
依次类推可得
当时,的取值范围为等.
17、(I) 由题意可知 x甲 ~ B(5, p1),
∴ Dx甲 = 5p1 (1-p1) = ? p12-p1 + = 0 ? p1 =
又 += 5, ∴ p2 =
(II) 两类情况:共击中3次概率
C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 1 ( ) 1 + C ( ) 1 ( ) 1×C ( ) 2 ( ) 0 =
共击中4次概率:C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 2 ( ) 0 =
所求概率为: + =
(III) P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=, P(ξ=5)=,
P(ξ=6)=,
ξ的分布列为
19、(1)依题意知:直线是函数在点处的切线,
故其斜率,所以直线的方程为.
因为直线与的图像相切,
所以由,
得(不合题意,舍去);
(2)因为(),
所以.
当时,;当时,.
因此,在上单调递增,在上单调递减.
因此,当时,取得最大值;
(3)当时,.
由(2)知:当时,,即.
因此,有.
20、(Ⅰ)设椭圆的方程为,半焦距为,依题意有
解得 .
所求椭圆方程为.
(Ⅱ)由,得.
设点、的坐标分别为、,则
.
(1)当时,点、关于原点对称,则.
(2)当时,点、不关于原点对称,则,
由,得 即
点在椭圆上,有,
化简,得.
,有.………………①
又,
由,得.……………………………②
将①、②两式,得.
,,则且.
综合(1)、(2)两种情况,得实数的取值范围是.
(Ⅲ),点到直线的距离,
的面积.
由①有,代入上式并化简,得.
,.
当且仅当,即时,等号成立.
当时,的面积最大,最大值为.
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