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广东省中山一中高三理科第五次统考

作者:佚名    文章来源:人教网    点击数:    更新时间:2018/12/1

    广东省中山一中高三理科第五次统考
    广东省中山一中高中部 许少华
    (本试卷分选择题和非选择题,全卷满分150分,考试时间120分钟)
    I
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1、关于全称命题与特称命题下列说法中不正确的一个为(     )
    (A)全称命题,对于取值集合中的每一个元素,命题都成立或都不成立
    (B)特称命题,对于取值集合中至少有一个元素使命题成立或不成立
    (C)“全称命题”的否定一定是“特称命题”
    (D)“特称命题”的否定一定不是“全称命题”
    2、若纯虚数满足,(是虚数单位,是实数),则
    A.2                        B.2                            C.8                        D.8
    3、设成等比数列,其公比为,则(    )
    (A)            (B)         (C)          (D)
    
    4、任给的值,计算函数值的程序框图,如图, 其中,①、②、③分别是(      )
    (A)         
    (B)
    (C)         
    (D)
    5、已知的夹角为,设,若的值为(     )
    (A)        (B)       (C)       (D)
    6、若不等式组表示的平面区域不能构成三角形,则的范围是(  )
    A.             B.             C.             D.
    7、已知是双曲线的半焦距,则的取值范围是(    )
     (A)        (B)       (C)      (D)
    8、定义在R上的函数满足,且为偶函数,当时,有(   )
    (A)         (B)     
    (C)         (D)
    第Ⅱ卷(非选择题  共90分)
    二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
    (一)必做题(9~12题)
    9、设是平面上形如的点构成的集合,三点是集合中的元素,则以为顶点,共可构成三角形的个数为       ;(用数字作答)
    10、一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序平均分10个小组,组号分别为1,2,…,10,现采用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第一组中随机取得的号码为,那么在第组中抽取的号码的个位数与的个位数相同,若,则在第6组中抽取的号码为              
    11、三角形的一个性质为:设△SAB的两边SASB互相垂直,点SAC边上的射影为H,则. 结论推广到三棱锥,设三棱锥S—ABC的三个侧面SABSBCSAC两两相互垂直,点S在平面ABC上的射影为H,则有:                   ..
    12、设an是(+3)n的展开式中x的一次项的系数,则()的值为       
    二、选做题(13—15题,考生只能从中选做两题)
    13.(坐标系与参数方程选做题)过点P(-3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线相交于AB两点.则线段AB的长为                   
    14.(几何证明选讲选做题)如图,PA切于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1, OA绕点O逆时针旋转60°到OD,则PD的长为            .
    三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    15、(本小题满分分)
    在△ABC中,为三个内角为三条边,
    (1)判断△ABC的形状;
    (2)若,求的取值范围.
    16、(本小题满分分)
    已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().
    (1)若,求
    (2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
    (3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
    17、(本小题满分分)
    两个人射击,甲射击一次中靶概率是p1,乙射击一次中靶概率是p2,已知 , 是方程 x2-5x + a = 0的根,若两人各射击5次,甲的方差是 .
    (I) 求 p1, p2的值;
    (II) 两人各射击2次,中靶至少3次就算完成目的,则完成目的的概率是多少?
    (III) 甲、乙两人轮流射击,各射击3次,中靶一次就终止射击,求终止射击时两人射击的次数之和ξ的期望?
    18、(本小题满分分)
    
    在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1,
    ⑴求证:平面BEF⊥平面DEF;
    ⑵求二面角A-BF-E的余弦值。
    19、(本小题满分分)
    

已知),直线与函数的图像都
    相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1.
       (1)求直线的方程及的值;
    (2)若(其中的导函数),求函数的最大值;
    (3)当时,求证:
    20、(本小题满分分)
    已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点分别是椭圆的左、右焦点,在椭圆的右准线上的点,满足线段的中垂线过点.直线为动直线,且直线与椭圆交于不同的两点
    (Ⅰ)求椭圆C的方程;
    (Ⅱ)若在椭圆上存在点,满足为坐标原点),求实数的取值范围;
    (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当取何值时,的面积最大,并求出这个最大值.
    参考答案
    一、选择题
    1、(D);“特称命题”的否定一定是“全称命题”,故D不正确。
    2、(C);设,由
    得
    3、(A);由于
    4、(D);首先注意到“是”时,“”则①应该是“”;再看②,由于“否”时,,会想到②应该是“”;当“”时,“”;
    5、(D);由,得
    
    6、(A);如图,直线从原点向右移动时,移动到时,再往右移不等式组所表示的区域就不能构成三角形了;又从点向右移动时,不等式组所表示的区域又为三角形;
    7、(D);由,由于,且函数上是增函数,那么的取值范围是
    8、(D);由,得函数在区间上为增函数,在区间上为减函数;又为偶函数,得函数的图象关于直线对称;
    由,由于即得结论。
    二、填空题
    9、五个点中有三点共线,那么可构成三角形的个数为
    10、;由于即第6组中抽取的号码的个位数为4,由于第6组中号码的十位数均为5,于是得结论;
    11、;经过四面体的棱SA与点H作平面,与棱BC交于点D. 易知,棱BC⊥平面SAD. 在RtSAD中,有.
    又 ∵ △SBC、△HBC、△ABC有公共边BC
    ∴ ,即
    12、∵x的一次项是由两个括号中取与其于n-2括号个括号取常数相乘得到,∴an,于是==18(-),所以)=×18)=18.
    13、直线的参数方程为 ,曲线可以化为
    将直线的参数方程代入上式,得
    
    设AB对应的参数分别为,∴
    AB
    14、∵PA切于点A,B为PO中点,∴AB=OB=OA,
    ∴,∴,在△POD中由余弦定理得
    =
    ∴.
    三、解答题
    15、(1)对应用正弦定理,变形,有,所以
    
    若,且,所以 ;于是,有
    ,得,所以三角形.
    (2)∵ ,∴
    ∴,而
    ∴,∴
    由于,所以
    16、(1)
    (2)
    
    当时,.
    (3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列.
    研究的问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围.
    研究的结论可以是:由
    依次类推可得 
    当时,的取值范围为等.
    17、(I) 由题意可知 x ~ B(5, p1),
    ∴  Dx = 5p1 (1-p1) = ? p12-p1 + = 0 ? p1 =  
    又 += 5,  ∴ p2 =  
    (II) 两类情况:共击中3次概率
    C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 1 ( ) 1 + C ( ) 1 ( ) 1×C ( ) 2 ( ) 0 =  
    共击中4次概率:C ( ) 2 ( ) 0×C ( ) 2 ( ) 0 =  
    所求概率为: + =  
    (III) P(ξ=1)=,   P(ξ=2)=,   P(ξ=3)=,
    P(ξ=4)=,  P(ξ=5)=,
    P(ξ=6)=,
    ξ的分布列为
    

 
    

    Eξ==
    18、(1)证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD.
    连接BD交AC于点O,连接FO.
    
    ∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2.
    在直角梯形ACEF中,∵EF=EC=1,O为AC中点,
    ∴FO∥EC,且FO=1;易求得DF=BF=,DE=BE=.
    由勾股定理知 DF⊥EF,BF⊥EF,
    ∴∠BFD是二面角B-EF-D的平面角.
    由BF=DF=,BD=2可知∠BFD=
    ∴平面BEF⊥平面DEF
    ⑵取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF.
    又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
    ∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角。
    易求得.取BC中点P,连接NP,则NP∥EC,
    ∴NP⊥平面ABCD,连接AP,在Rt△中,可求得
    ∴在△中,由余弦定理求得
    即二面角A-BF-E的余弦值为
    解法2:⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,∴EC⊥平面ABCD.
    建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则
    
    ∴
    设平面BEF、平面DEF的法向量分别为,则
      ①         ②,
      ③,        ④.
    由①③③④解得
    ∴
    ∴,∴,故平面BEF⊥平面DEF.
    ⑵设平面ABF的法向量为,∵
    ∴,解得
    ∴
    ∴
    由图知,二面角A-BF-E的平面角是钝角,
    故二面角A-BF-E的余弦值为
    

19、(1)依题意知:直线是函数在点处的切线,
    

故其斜率,所以直线的方程为
    因为直线的图像相切,
    所以由
    得不合题意,舍去);
    (2)因为),
    所以
    当时,;当时,
    因此,上单调递增,在上单调递减.
    因此,当时,取得最大值
    (3)当时,
    由(2)知:当时,,即
    因此,有
    20、(Ⅰ)设椭圆的方程为,半焦距为,依题意有
     解得    
    所求椭圆方程为.             
    (Ⅱ)由,得
    设点的坐标分别为,则
    
    (1)当时,点关于原点对称,则
    (2)当时,点不关于原点对称,则
    由,得       即
    在椭圆上,
    化简,得
    .………………① 
    又
    ,得.……………………………② 
    将①、②两式,得
    ,则
    综合(1)、(2)两种情况,得实数的取值范围是
    (Ⅲ),点到直线的距离
    的面积
    由①有,代入上式并化简,得
    
    当且仅当,即时,等号成立.
    时,的面积最大,最大值为
    

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