湖南省岳阳县第一中学高三月考试题（理科）

    湖南省岳阳县第一中学高三月考试题（理科）
    湖南省岳阳县第一中学　邓超华
    参考公式： ．
    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
    1. 在复平面内，复数对应的点位于(　　)
    A．第一象限 B．第二象限
    C．第三象限 D．第四象限
    2.已知条件，条件，则成立的( )
    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
    3.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
    

x	1.99	3	4	5.1	6.12
y	1.5	4.04	7.5	12	18.01

    现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) A.y＝2x－2 B.y＝()^x C.y＝log₂x D.y＝(x²－1)
    4. 下图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）
    
    

    A．84，4.84 B．84，1.6
    C．85，1.6 D．85，4
    5. 等差数列前17项和，则
    A. 3 B. 6 C. 17 D. 51
    6.若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x²＋y²＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为(　　)
    A．8 B．12 C．16 D．20
    7.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是(　　)
    A．5 B．6 C．7 D．8
    8. 在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（）
    A．1- B．1- C．1- D．1-
    二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
    （一）必做题（9～13题）
    9．双曲线的离心率为.
    10.设函数为奇函数，则．
    11.在二项式的展开式中， 的一次项系数是，则实数的值为．
    12. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是________．
    
    13.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积．
    （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）
    14.（坐标系与参数方程选做）
    在极坐标系中，点到直线的距离为．
    15.（几何证明选讲选做题）
    如图，点B在⊙O上， M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N， ，若⊙O的半径为，OA=OM ，则MN的长为．
    
    三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
    16.（本题满分12分）
    已知函数的图象的一部分如下图所示.
    (1)求函数的解析式;
    (2)当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值.
    
    17.（本题满分12分）
    某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.
    （1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
    （2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，
    他获得返券的金额记为（元）.求随机变量的分布列和数学期望.
    
    18．（本小题满分14分）
    如图，、为圆柱的母线，是
    底面圆的直径，、分别是、的中
    点，．
    （1）证明：；
    （2）求四棱锥与圆柱的体积比；
    （3）若，求与面所成角的正弦值．
    
    19.（本题满分14分）
    ,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.
    (1)求数列,的通项公式;
    (2)记=,求数列的前项和.
    20.（本题满分14分）
    已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．
    ⑴求、的值；
    ⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．
    21.（本题满分14分）
    已知函数,,和直线： .
    又.
    (1)求的值；
    (2)是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.
    (3)如果对于所有的,都有成立，求k的取值范围.
    高三理科数学月考试卷数学试题(理科）答案
    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
    

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	D	B	D	C	A	C	C	B

    1．【解析】答案：D z＝＝＝－i.故选D.
    2．【解析】B p：，q：或，故q是p成立的必要不充分条件，故选B.
    3．【解析】选D 直线是均匀的，故选项A不是；指数函数是单调递减的，也不符合要 求；对数函数的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求.
    4．【解析】C去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，可以计算得平均数和方差.
    5．A
    6．【解析】答案：C 由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而＋＝(＋)(4a＋b)＝8＋＋≥8＋2×4＝16(当且仅当b＝4a时取“＝”)．
    7．【解析】答案：C 依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.
    又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得： 解得a＝7.
    8．【解析】B；若使函数有零点，必须必须，即．
    在坐标轴上将的取值范围标出，有如图所示
    
    当满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．
    于是概率为．
    二、填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）
    9． 10． 11．1 12．7500
    13． 14．15．2
    11．【解析】1；由二项式定理，．
    当时，，于是的系数为，从而．
    12．【解析】由题知，s＝3×1＋3×3＋3×5＋…＋3×99＝7500.
    13．【解析】：连接内切球球心与各点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积。答案:
    14．【解析】直角坐标方程 x+y﹣2=0，d==
    15．【解析】∵∴,∵OM=2,BO=∴BM=4,
    ∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2
    三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
    16．（本题满分12分）
    解:(1)由图像知,,∴,得.
    由对应点得当时,.∴;……5分
    (2)
    =,………9分
    ∵,∴,………10分
    ∴当,即时,的最大值为;当,即时,的最小值.……12分
    17．（本题满分12分）
    解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.
    则.…3分
    （1）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.
    ……6分
    即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.
    （2）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
    随机变量的可能值为0，30，60，90，120.……7分
     ………10分
    所以，随机变量的分布列为：
    

	0	30	60	90	120

    其数学期望
     ………13分
    18.（本小题满分14分）
    解：（1）证明：连结，.分别为的中点，∴.
    
    又，且.∴四边形是平行四边形，
    即. ∴.………4分
    （2）由题，且由（1）知.∴，∴ ，∴.
    因是底面圆的直径，得，且，
    ∴，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底半径为，
    则，
    ∴：.………9分
    
    （3）解一：由(1)(2)可知，可分别以为坐标轴建立空间直角标系，如图
    设，则，，，从而，
    ，由题，是面的法向量，设所求的角为.
    则.…14分
    解二：作过的母线，连结，则是上底面圆的直径，连结，
    得，又，∴，连结，
    则为与面所成的角，设，则
    ，.……12分
    在中，．……14分
    19．（本题满分14分）
    解：(1)由.且得… 2分
    ,……… 4分
    在中,令得当时,T=,
    两式相减得,…… 6分
    .…… 8分
    (2), ……9分
    ,,…10分
    =2
    =,………13分
    …… 14分
    20．（本题满分14分）
    ⑴依题意，：……1分，不妨设设、（）……2分，
    由得，……3分，所以……5分，
    解得，……6分．
    ⑵由消去得……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或……9分，解得或……10分。动圆与直线没有公共点当且仅当，即……12分。解或……13分，得的取值范围为……14分．……14分
    21．（本题满分14分）
    解：（1）,因为所以=－2.……2分
    (2)因为直线恒过点（0，9）.先求直线是 的切线.
    设切点为,……3分
    ∵.∴切线方程为,
    将点（0，9）代入得.
    当时，切线方程为=9, 当时，切线方程为=.
    由得，即有
    当时，的切线，
    当时， 的切线方程为…6分
    是公切线，又由得或，
    当时的切线为，当时的切线为，
    ，不是公切线， 综上所述 时是两曲线的公切线 ……7分
    (3).（1）得，当，不等式恒成立，.
    当时，不等式为，……8分
    而
    当时，不等式为，
    当时,恒成立，则 …………10分
    （2）由得
    当时，恒成立，，当时有
    设=，
    当时为增函数，也为增函数
    
    要使在上恒成立，则……12分
    由上述过程只要考虑，则当时=
    在时，在时
    在时有极大值即在上的最大值，……13分
    又，即而当,时，
    一定成立，综上所述.…14分
    

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