巧思妙解2011年高考数学题(江苏卷)
杨洪林
1.(题18)如图,在平面直角坐标系
xO
y中,M、N分别是椭圆
的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限.过P作
x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为
k.
(1)当直线PA平分线段MN时,求
k的值;
(2)当
k = 2时,求点P到直线AB的距离
d;
(3)对任意
k > 0,求证:PA⊥PB.
【
参考答案】
(1)……
.
(2)……
.
(3)
解法一 将直线PA的方程
y =
kx代入
,解得
x = ±
.记
μ =
,
则P(
μ,
μk), A(-
μ, -
μk),于是C(
μ,0).故直线AB的斜率为
=
,其方程为
.
代入椭圆方程得(2 +
k2)
x2 -2
μk2x–
μ2(3
k2 + 2)= 0, 解得
x =
或
x = -
μ .
因此B(
,
),于是直线PB的斜率
k1 =
=
= -
.
因此
k1 k = - 1,所以PA ^ PB.
解法二 设P(
x1,
y1),B(
x2,
y2),则
x1>0,
x2>0,
x1≠
x2,A(-
x1,-
y1),C(
x1,0).
设直线PB、AB的斜率分别为
k1、
k2,因为C在AB上,所以
k2 =
=
=
.
从而
k1k + 1 = 2
k1k2 + 1 = 2·
·
+ 1 =
+ 1
=
=
= 0. 因此
k1k = - 1,所以PA ^ PB.
·
巧思·
① 利用三角形中位线定理,便知OD∥PB(D为AB的中点),“证明PA ^PB”就转化为“证明OA ^OD”。
② 将点A、B的坐标设为对称式(关于中点D对称),便得两个对称的等式,从而又得一个简单的关系式。
③ 利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件(
kAB =
kBC),必可得到
kOA·
kOD = -1(条件都已用到)。
·
妙解·
设AB的中点D(
a,
b),A(
a + m,
b + n),B(
a -
m,
b -
n),则C(-
a -
m,0),OD∥PB.
且(
a + m)
2 + 2(
b + n)
2 = 4 =(
a -
m)
2 + 2(
b -
n)
2 am + 2
bn = 0.
kPA =
= 2
kAC = 2
kAB =
= -
= -
= -
PA^PB.
【
评注】
①“对称美”是数学美之一,设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。
② 将初中数学知识与高中数学结合运用,可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为凡”。
③(1)中,根据“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”,便有:OQ=MQ(Q为MN的中点)
k= -
kMN =
=
;(2)中,根据直线斜率的几何意义以及平行线等分线段定理,便有:
k = 2
PC = 2OC = 2OE(AB交ON于E)
d = 2OF(OF^AB于F)= CE =
(均比参考答案简洁,具体省略)。
2.(题19)已知
a,
b是实数,函数
和
是
的导函数,若
≥0在区间I上恒成立,则称
和
在区间I上单调性一致.
(1)设
a>0,若函数
和
在区间
上单调性一致,求实数
b的取值范围;
(2)设
a<0且
,若函数
和
在以
a,
b为端点的开区间上单调性一致,求|
a -
b|的最大值.
【
参考答案】
= 3
x2 +
a,
= 2
x +
b.
(1)……
b≥2……
(2)令
= 0,解得
x = ±
.
若
b>0,由
a<0,得0∈(
a,
b).又因为
f ′(
0)
g ′(
0) =
ab<0,
所以函数
和
在(
a,
b)上不是单调性一致的.因此
b≤0.
现设
b≤0. 当
x∈(-∞,0)时,
<0;当
x∈(-∞,-
)时,
>0.
因此,当
x∈(-∞,-
)时,
<0.故由题设得
a≥-
,且
b≥-
.
从而 -
≤
a<0,于是 -
≤
b≤0.因此∣
a -
b∣≤
,且当
a = -
,
b = 0时等号成立.
又当
a = -
,
b = 0时,
= 6
x(
x2 -
), 从而当
x∈(-
,0)时,
>0,
故函数
和
在(-
,0)上单调性一致.因此|
a -
b|的最大值为
.
·
巧思·
① 由导函数
和
的连续性知:若在以
a、
b为端点的开区间上,
≥0,则必定也有
f ′ (
a)
g ′ (
a)≥0,
f ′(
b)
g′(
b)≥0.问题便转化为对“
f ′(
a)
g′(
a)≥0,
f ′(
b)
g′ (
b)≥0”的探讨。
② 由
b≤0便知
g′(
a)<0,
g′(
b)≤0,亦知
f ′(
a)≤0,
f ′(
b)≤0,从而问题得以方便、快捷地解决。
·
妙解·
f ′ (
x)
g′ (
x)≥0
f ′(
a)
g′(
a)=( 3
a2 + a)(2
a + b)≥0,
f ′(
b)
g′(
b)=(3
b2 +
a)(2
b +
b)≥0.
f ′ (0)
g′ (0)=
ab及题设知
b≤0
3
a2 + a≤0,3
b2 +
a≤0
-
≤
a<0, -
≤
b≤0
∣
a -
b∣≤
a = -
<
x<0 =
b时,
f ′(
x)
g′ (
x) =(3
x2 -
)·2
x>0
∣
a -
b∣
max =
.
【
评注】
① 题意是求满足“在以
a、
b为端点的开区间上,
≥0”的条件,没有要求找出使得“
≥0”的所有区间,因此也就不必“多此一举”地求出方程
= 0的根以及
的全部单调区间。
② 解决问题要尽可能地简单、简洁、简便,就要尽可能地减少“多余劳动”、“重复劳动”、“无效劳动”。
3.(题20)设M为部分正整数组成的集合,数列{
an}的首项
a1 = 1,前
n项和为S
n,已知对任意整数
k属于M,当
n>
k时,
都成立.
(1)设M ={1},
,求
的值;
(2)设M ={3,4},求数列{
an}的通项公式.
【
参考答案】
(1)……
a5的值为8.
(2)由题设知,当
k∈ M ={3,4}且
n>
k时,S
n+k + S
n -k = 2S
n + 2S
k且S
n+1+k + S
n +1-k = 2S
n+1 + 2S
k,,
两式相减得
an+1+k +
an +1 -k = 2
an+1,即
an+1+k -
an+1 =
an+1 -
an +1 -k .所以当
n≥8时,
an - 6,
an - 3,
an,
a n+ 3,
an+ 6成等差数列,且
an - 6,
an - 2,
an + 2,
an + 6也成等差数列.
从而当
n≥8时,2
an =
an + 3+
an -3 =
an + 6 +
an - 6(*),且
an + 6 +
an - 6 =
an + 2 +
an -2 .
所以当
n≥8时,2
an =
an + 2 +
an -2 ,即
an + 2 -
an =
an -
an -2 .
于是当
n≥9时,
an -3,
an - 1,
an + 1,
an + 3成等差数列,从而
an + 3 +
an -3 =
an + 1 +
an - 1 .
故由(*)知2
an =
an+ 1 +
an -1,即
an+ 1 -
an =
an -
an -1.当
n≥9时,设
d =
an-
an -1.
当2≤
m≤8时,
m + 6≥8,从而由(*)式知2
am + 6 =
am+
am + 12,
故2
am + 7 =
am + 1+
am + 13.从而2(
am + 7 -
am + 6)=
am + 1 -
am +(
am + 13 -
am + 12),
于是
am + 1 -
am = 2
d–
d =
d.因此,
an + 1 –
an = 2
d对任意
n≥2都成立.
又由S
n + k + S
n - k -2S
n = 2S
k(
k∈{3,4})可知(S
n + k - S
n)-(S
n- S
n -k)= 2S
k ,
故9
d = 2 S
3且16
d = 2S
4.解得
a4 =
d,从而
a2 =
d,
a1 =
d.因此,数列{
an}为等差数列.
由
a1 = 1知
d = 2,所以数列{
an}的通项公式为
an = 2
n -1.
·
巧思·
① 将数列{
an}看成三个等差数列{
a3n -1}、{
a3n}、{
a3n + 1}合成的数列(增加一项
a1),利用“数列{
bn}为等差数列”
“前
n项之和T
n可表示为
an2 +
bn”,可以避免求出公差
d的“漫长”过程。
② 定义S
0 = 0,则
an = S
n - S
n -1对任意
n∈
N*都适用,从而又避免了对
n = 1和
n≥2的分类讨论。
·
妙解·
S
n + 3 + S
n -3 = 2(S
n+ S
3), S
n + 4+ S
n -2 = 2(S
n + 1+ S
3)
an + 4 +
an -2 = 2
an + 1(
n≥4)
数列{
a3n -1}、{
a3n}、{
a3n + 1}(
n≥1)都是等差数列
S
n-
a1为三个等差数列前若干项之和的和
S
n =
an2 +
bn +
c(
a、
b、
c为常数);
S
1 =
a1, S
n + 3 + S
n - 3 =2(S
n+ S
3), S
n + 4 + S
n - 4=2(S
n+ S
4)
a +
b +
c = 1, 3
b +
c = 0, 4
b +
c = 0
a = 1,
b =
c = 0
S
n =
n2 an = S
n - S
n - 1(S
0 = 0)=
n2 -(
n -1)
2 = 2
n -1.
【
评注】
①“数列为等差数列”的一个充分必要条件是“数列的前
n项之和可以表示为
an2 +
bn(
a、
b为常数)”,这个结论教师不仅应当传授给学生,而且还要经常地练习、运用,形成牢固的“印象”和熟练的“技术”。
② 将一个整体看成几个部分之和,将一个大问题分解为几个小问题,是研究数学、思考数学的一种方法。
4.(题23)设整数
n≥4,P(
a,
b)是平面直角坐标系
xO
y中的点,其中
a,
b∈ {1,2,3,…,
n} ,
a>
b.
(1)记A
n为满足
a -
b = 3的点P的个数,求A
n;
(2)记B
n为满足
是整数的点P的个数,求B
n .
【
参考答案】
(1)……A
n =
n - 3.
(2)设
k为正整数,记
fn(
k)为满足题设条件
以及
a -
b = 3
k的点P的个数,只要讨论
fn(
k)≥1的情形。
由1≤
b =
a -3
k≤
n -3
k知
fn(
k)=
n -3
k,且
k≤
.
设
n - 1 = 3
m +
r,其中
m∈
N﹡,
r∈ {0,1,2},
k≤
m.
所以B
n =
=
=
mn -
=
.
将
m =
代入上式,化简得B
n =
-
.
所以B
n =
·
巧思·
① 将全体正整数按照对模3同余分类,构成三个集合:A ={1,4,…,3
m + 1,…},B ={2,5,…,3
m + 2,…},
C =(3,6,…,3
m + 3,…)(
m∈
N﹡),则满足条件的
a、
b必属于同一个集合。
② 计算
a、
b同属于集合A、B、C时点P的个数,只要利用从
k个元素中选出2个元素的组合数公式
就可以了,因而也只要分别考虑
n = 3
m + 1,
n = 3
m + 2和
n = 3
m + 3时的情形。
·
妙解·
由集合{1,4,…,3
m + 1},{2,5,…,3
m + 2},{1,3,6,…,3
m + 3}(
m∈
N﹡)知:
若
n = 3
m + 1,则B
n =
+ 2
=
=
;
若
n = 3
m + 2,则B
n = 2
+
=
=
;
若
n = 3
m + 3,则B
n = 3
=
=
.
【
评注】
① 将1,2,…,
n进行分类并将三个集合展示,问题就很直观、很明了,分析就很具体、很方便。
② 计算B
n转化为计算三个集合中元素的个数,命题就很简单、很简明,计算就很容易、很轻松。
③“参考答案”是为以后的教师教学和考生解题做“示范”的,因此要力求通俗易懂、简洁明快。
【
小结】
① 数学是美的,“简洁美”是其中之一,也是主要的数学美,解决数学问题应当——力求简明、简便、简洁、简单,力求创优创新、尽善尽美。亦即:应当努力——探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法,探求尽可能简洁的语句、尽可能简单的表述。
② 如果某个问题的解答过程较复杂、步骤较冗长,我们就要思考:这个解法算得上“较好”吗?“很好”吗?“极好”吗?还能够“改变”吗?“改造”吗?“改进”吗?亦即:教师传给学生的知识,不仅应当确保是“正品”,而且还应当是“精品”、“极品”。
③ 如同长跑比赛不仅比耐力、而且比速度一样,数学高考不仅测验“会不会”,而且测验“好不好”、“快不快”:看你能否在很短时间内顺利地完成答卷。因此,探求“巧思妙解”就不仅仅是理论上的需要,而且还更是实际实在的需要、迫切急切的需要。
④“数学是思维的科学”(单墫)。思绪明朗、思路开阔、思想活跃、思维科学了,问题就能迎刃而解;反之则犹豫不决、迷惑不解。因此,数学教育者先教育思维的拓展,数学学习者先学习思维的拓展,就当然是“十分必要、极其重要、非常紧要”的。
注:作者系退休机关干部、中学数学教师
(责任编辑:admin)
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