巧思妙解2011年高考数学题（重庆卷）

    巧思妙解2011年高考数学题（重庆卷）
    杨洪林
    1.（文19）设f（x）= 2 x³ + ax ² + bx + 1的导数为f ′（x） ，若函数y = f ′（x）的图象关于直线x = - 对称，且f ′（1）= 0.
    （1）求实数a、b的值；
    （2）求函数f（x）的极值.
    【参考答案】
    （1）因为f（x）= 2 x³ + ax ² + bx + 1，故f ′（x）= 6x² + 2ax + b.
    从而f ′（x）= 6 ，即f ′（x）关于直线x = -对称，
    从而由题设条件知 -= -，解得a = 3.
    又由于f ′（1）= 0，即6 + 2a + b = 0，解得b = - 12.
    （2）由（1）知f（x）= 2 x³ + 3x ² - 12x + 1，f（x）= 6 x² + 6x -12 = 6（x + 2）（x - 1）.
    令f ′（x）= 0，即6（x + 1）（x - 2）= 0，解得x₁ = -2，x₂ = 1.
    当x∈（-∞，-2）时，f ′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-2）上为增函数；
    当x∈（-2,1）时，f ′（x）＜0. 故f（x）在（-2，1）上为减函数；
    当x∈（1, +∞）时，f ′（x）＞0，故f（x）在（1, +∞）上为增函数.
    从而函数f（x）在x₁ = -2处取得极大值f（-2）= 21，在x₂ = 1处取得极小值f（1）= -6.
    ·巧思·
    ① 利用“曲线y = f ′（x）关于直线x += 0对称”“f ′（x）中x ² 与x的系数相同”，以及“f ′（1）= 0”
    “f ′（x）含有因式（x -1）”，立即可得a、b的值。
    ② 将f（x）化为2（x - c）²（x - d）+ m的形式，根据极值的定义可知，若c＜d，则f（c）= m为f（x）的极大值；若c＞d，则f（c）= m为f（x）的极小值。
    ·妙解·
    （1）题设f ′（x）= 6x² + 2ax + b = 6（x² + x -2）a = 3, b = -12.
    （2）f（x）= 2 x³ + 3x² - 12x + 1 =（x + 2）²（2x - 5）+ 21 =（x -1）²（2x + 7）- 6
     f（x）_max =  f（-2）= 21，f（x）_min = f（1）= - 6.
    【评注】
    ① 先将f ′（x）由一般式化为“顶点式”，后与题设条件对照，是“由简变繁”；而改为先将f ′（x）由条件决定的“顶点式”还原成一般式,，后与原式对照，则是“化繁为简”，且缩减不少过程。
    ② 利用定义解题，是“返璞归真、回归自然”，可使学生进一步理解“极值”的含义。
    ③ 将f（x）变形的方法： 2 x³ + 3x² - 12x + 1 =（x - c）²（2x - d）+ m =2x ³ -（4c + d）x ² +（2cd + 2c²）x + n
     4c + d = -3，2cd + 2c² = -12c = - 2，d = 5, m = 21或c = 1， d = - 7，m = - 6。
    2.（理20）椭圆的中心为原点O，离心率e =,一条准线的方程为x = 2.
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）设动点P满足： ,其中M, N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 -，问：是否存在两个定点F₁、F₂，使得∣PF₁∣+∣PF₂∣为定值？若存在，求F₁、F₂的坐标；若不存在，说明理由.
    【参考答案】
    （1）…….
    （2）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由得
    （x，y）=（x₁，y₁）+ 2（x₂，y₂）=（x₁ + 2x₂，y₁ + 2y₂），即x = x₁ + 2x₂，y = y₁ + 2 y₂.
    因为点M, N在椭圆x² + 2y² = 4上，所以+ 2= 4，+ 2= 4,
    故x² + 2y² =（+ 4+ 4 x₁ x₂）+ 2（+ 4+ 4 y₁ y₂）
    =（+ 2）+ 4（+ 2）+ 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）= 20 + 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）.
    设k_OM、k_ON分别是直线OM、ON的斜率，由题设条件知
    k_OM·k_ON = = -，因此x₁ x₂ + 2 y₁ y₂ = 0，所以x² + 2y² = 20.
    所以P点是椭圆上的点.
    设该椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，则由椭圆的定义知∣PF₁∣+∣PF₂∣为定值.
    又因为c =，因此两焦点的坐标为F₁（-，0），F₂（，0）.
    ·巧思·
    ① 将对x² + 2y²的表达式进行变形（得到20），改为对x²的表达式进行变形（得到20 - 2y²），更加自然。
    ② 将式子k_OM·k_ON = = -的出现放在前面，便显得证明过程似“顺流直下”，而不是“停停顿顿”。
    ·妙解·
    设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则题设+ 2 = + 2 = 4,
    k_OM·k_ON = = -，且（x₀，y₀）=（x₁ + 2x₂，y₁ + 2y₂）
     =（x₁ + 2x₂）² =+ 4x₁ x₂ + 4 =（4 - 2）- 8 y₁ y₂ +（4 - 2）
    = 20 -2（y₁ + 2 y₂）² = 20 - 2点P在椭圆上
    存在点F₁（-，0），F₂（，0）满足要求.
    【评注】
    ① 正如在椭圆问题中，a、b、c就表示椭圆的半长轴、半短轴和半焦距，而无须另加说明，同样，k_OM、k_ON就已表示直线OM、ON的斜率，也无须再“设k_OM、k_ON分别是直线OM、ON的斜率”。
    ②“参考答案”实际是“标准答案”，是为以后的教师教学和考生解题做示范的。因此，“参考答案”就应当考虑到考生的考试时间非常有限的问题，用尽可能简洁的语句、作尽可能简短的表述。
    3.（文21）椭圆的中心为原点O，离心率e =,一条准线的方程为x = 2.
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）设动点P满足： ,其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 -，问：是否存在定点F，使得∣PF∣与点P到直线l：x=2的距离之比为定值？若存在，求F的坐标；若不存在，说明理由.
    【参考答案】
    （1）…….
    （2）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由得
    （x，y）=（x₁，y₁）+ 2（x₂，y₂）=（x₁ + 2x₂，y₁ + 2y₂），即x = x₁ + 2x₂，y = y₁ + 2 y₂.
    因为点M, N在椭圆x² + 2y² = 4上，所以+ 2= 4,+ 2= 4,
    故x² + 2y² =（+ 4+ 4 x₁ x₂）+ 2（+ 4+ 4 y₁ y₂）
    =（+ 2）+ 4（+ 2）+ 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）= 20 + 4（x₁ x₂ + 2 y₁ y₂）.
    设k_OM、k_ON分别是直线OM、ON的斜率，由题设条件知
    k_OM·k_ON = = -，因此x₁ x₂ + 2 y₁ y₂ = 0，所以x² + 2y² = 20.
    所以P点是椭圆上的点. 该椭圆的右焦点为F（，0），
    离心率e =,直线l：x=2是该椭圆的右准线. 故根据椭圆的第二定义，
    存在点F（，0），使得∣PF∣与点P到直线l：x = 2的距离之比为定值.
    ·巧思·
    ① 将对x² + 2y²的表达式进行变形（得到20），改为对x²的表达式进行变形（得到20 - 2y²），更加自然。
    ② 将式子k_OM·k_ON = = -的出现放在前面，便显得证明过程“顺流直下”，而不是“停停顿顿”。
    ·妙解·
    设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则题设+ 2 = + 2 = 4,
    k_OM·k_ON = = -,且（x₀，y₀）=（x₁ + 2x₂，y₁ + 2y₂）
     =（x₁ + 2x₂）² =+ 4x₁ x₂ + 4 =（4 - 2）- 8 y₁ y₂ +（4 - 2）
    = 20 -2（y₁ + 2 y₂）² = 20 -2点P在椭圆上，
    直线l是该椭圆的右准线，而右焦点F（，0）满足要求.
    【评注】
    ① 正如在椭圆问题中，a、b、c就表示椭圆的半长轴、半短轴和半焦距，而无须另加说明，同样，k_OM、k_ON就已表示直线OM、ON的斜率，也无须再“设k_OM、k_ON分别是直线OM、ON的斜率”。
    ②“参考答案”实际是“标准答案”，是为以后的教师教学和考生解题做示范的。因此，“参考答案”就应当考虑到考生的考试时间非常有限的问题，要用尽可能简洁的语句，作尽可能简短的表述。
    4.（理21）设实数数列｛a_n｝的前n项和S_n满足S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n（n∈N﹡）.
    （1）若a₁ ，S₂ ，-2a₂成等比数列，求S₂和a₃ ；
    （2）求证：对k≥3有0≤a_{k + 1}≤a_k ≤.
    【参考答案】
    （1）…… S₂ = -2 … a₃ = .
    （2）证法1：由题设条件有S_n + a_{n + 1} = a_{n + 1} S_n ，故
    S_n ≠1，a_{n + 1}≠1，且a_{n + 1} = ，S_n =，从而对k≥3有
    a_k ====.①
    因- a_{k - 1} + 1 =+ ＞0且≥0，故由①得a_k≥0.
    要证a_k ≤，由①只要证≤，即证3≤4（- a_{k - 1} + 1），
    即（ - 2）²≥0，此式明显成立.因此a_k ≤（k≥3）.
    最后证a_{k + 1}≤a_k .若不然，a_{k + 1} =＞a_k ，又因a_k≥0 ，
    故＞1，即（a_k -1）²＜0，矛盾. 因此a_{k + 1}≤a_k（k≥3）.
    证法2：由题设知S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1} = a_{n + 1}S_n ，
    故方程x² - S_{n + 1} x + S_{n + 1} = 0有根S_n 和 a_{n + 1}（可能相同）.
    因此判别式⊿ =-4S_{n + 1}≥0.
    又由S_{n + 2} = S_{n + 1} + a_{n + 2} = a_{n + 2} S_{n + 1}得a_{n + 2}≠1且S_{n + 1} =.
    因此 - ≥0，即3- 4a_{n + 2}≤0,
    解得0≤a_{n + 2}≤，因此0≤a_k≤（k≥3）.由a_k =≥0（k≥3）得
    a_{k + 1} - a_k =- a_k = a_k= a_k
    = -= -≤0，因此a_{k + 1}≤a_k（k≥3）.
    ·巧思·
    ① 将S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n 中的a_{n + 1}代换成S_{n + 1} - S_n ，便得S_{n + 1} 与S_n 的两种形式的关系式：（S_n -1）S_{n +1}= S_n²和（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= S_n² - S_n + 1，便减少了分式的出现，更避免了繁分式的出现。
    ② 将化为，便知0≤a_k ≤。如此，则不仅将证明a_k ≥0和证明a_k ≤“两步合为一步”，避免了出现繁分数，而且使得的“产生”显得“自然而然”。
    ③ 利用“a_{n + 1}≥0S_n≤S_{n + 1}”,“（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= S_n² - S_n + 1＞0”,“a_{n + 1} - 1 =”，以及一个常用经验不等式“xy＞0, x≥y≤”，便可证明“a_{n + 3}≤a_{n + 2}”，且书写较简洁。
    ·妙解·
    a_{n + 1} + S_n = S_{n + 1} = a_{n + 1}S_n =（S_{n + 1} - S_n ）S_n S_n ≠1，a_{n + 1} =，（S_n -1）S_{n +1}= S_n² ，
    且4（s_{n + 1} - 1）（S_n - 1）= 4（S_n² - S_n + 1）= 3S_n² +（S_n - 2）² ＞0
    a_{n + 2} =  ==0≤a_{n + 2}≤S_{n + 1}≤S_{n +}
    S_{n + 1}-1≤S_{n + 2}-1a_{n + 3} -1 =≤ = a_{n + 2} k≥3时，0≤a_{k + 1}≤a_k ≤.
    【评注】
    ① S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1}、S_n = S_{n + 1} - a_{n + 1}、a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n三个关系式是等价的，应熟练掌握、灵活运用。
    ② 繁分数、繁分式书写麻烦且“很不美观”，解题过程中应尽量少使用，能避免出现则尽量避免出现。
    ③ 除了基本公式和基本平均不等式外，掌握一些经验公式和经验不等式，可为解题带来很大的方便。
    【小结】
    ① 数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当——力求简明、简便、简洁、简单，力求创优创新、尽善尽美。亦即：应当努力——探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简单的表述。
    ② 如果某个问题的解答过程较复杂、步骤较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？“很好”吗？“极好”吗？还能够“改变”吗？“改造”吗？“改进”吗？亦即：教师传给学生的知识，不仅应当确保是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。
    ③ 如同长跑比赛不仅比耐力、而且比速度一样，数学高考不仅测验“会不会”，而且测验“好不好”、“快不快”：看你能否在很短时间内顺利地完成答卷。因此，探求“巧思妙解”就不仅仅是理论上的需要，而且还更是实际实在的需要、迫切急切的需要。
    ④“数学是思维的科学”（单墫）。思绪明朗、思路开阔、思想活跃、思维科学了，问题就能迎刃而解；反之则犹豫不决、迷惑不解。因此，数学教育者先教育思维的拓展，数学学习者先学习思维的拓展，就当然是“十分必要、极其重要、非常紧要”的。
    注：作者系退休机关干部、中学数学教师.
    

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