作者:佚名
一、考试要求:
1、了解导数概念的实际背景。
2、理解导数的几何意义。
3、掌握函数y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数。
4、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。
5、会利用导数求最大值和最小值的方法,解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题。
二、知识与方法
1、导数的定义
设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义,当自变量x在x0处有增量(或称改为量)△x,那么函数y相应的有增量(或称改变量)△y,
△y=f(x0+△x)-f(x0)
比值就叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的平均变化率.
=.
如果当△x→0时,有极限,我们就说函数y=f(x)在x0处可导,并把这个极限值叫做函数f(x)在x0处的导数(或称变化率),记作f′(x0)或y′|x=x¬0或f′(x)|x=x0.即:
f′(x0)=
这里须指出:f′(x0)是函数y=f(x)在x0点的导数值,瞬时速度就是位移函数s(t)在点t0处的导数,即:S′(t0)=
2、求函数y=f(x)在x0点处的导数的步骤
⑴求函数的增量△y=f(x0+△x)-f(x0)
⑵求平均变化率:=.
⑶取极限,求函数在x0点的变化率,即导数:f′(x0)=.
3、“函数f(x)在点x0¬处的导数”、“导函数”及“导数”的概念间的区别与联系:
⑴函数在一点处的导数,就是在该点的函数增量△y=f(x0+△x)-f(x0)与自变量的增量△x之比的极限。它是一个常数,不是变量。
⑵如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导,这时称y=f(x)在区间(a,b)内可导,对于区间(a,b)内一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f′(x0),这样的对应就构成了以区间(a,b)为定义域的一个新函数,称为函数f(x)的导函数,简称导数,所以函数的导数是对某一区间内任意一点x而言的。
⑶y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,
即f′(x)|=f′(x0),值得注意的是:f′(x0)≠[f(x0)]′
4、导数的几何意义
⑴函数f(x)在点x0处有导数,则函数f(x)的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率;但函数f(x)的曲线在点x0处有切线,函数f(x)在该点处不一定可导。如f(x)=在x=0有切线,但不可导。
⑵函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是指:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0),切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)
5、常见函数的导数公式
⑴C′=0(C为常数)⑵(xn)′=nxn-1(n∈Q)
6、可导函数四则运算法则
设函数f(x)、g(x)都是可导函数,则:
(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)
三、导数的应用
1、利用导数判断函数的单调性
设函数y=f(x)在某区间内可导,并且在该区间内,f′(x)>0,则f(x)在该区间内为增函数;若在该区间内,f′(x)<0,则f(x)在该区间内为减函数.
指出:若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零,不影响函数在该区间内的单调性,如y=x3,在(-∞,+∞)内,y=3x2≥0(只在x=0处y′=0)不影响y=x3在(-∞,+∞)内为单调增加.
2、求可导函数f(x)单调区间的一般方法和步骤如下:
⑴确定函数f(x)的定义区间;
⑵求函数f(x)的导数f′(x);
⑶令f′(x)>0,所得x的范围(区间)为函数f(x)的单调增区间;令f′(x)<0,得单调减区间.
3、利用导数求函数的极值
⑴极值的定义:设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0左右近旁的所有x值,都有
f(x)<f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),
如果对x0左右近旁的所有x值,都有f(x)>f(x0)
我们就说f(x0)是f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0)
极大值、极小值统称为f(x)的极值.
指出:一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于极大值);极值是函数的局部性质,它仅与左右近旁的函数值进行比较;极值点一定是区间的内点。导数为零的点是该点为极值点的必要条件,不是充分条件。
⑵极值的判定方法。
当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
①如果在x0在左侧近旁f′(x0)>0,右侧近旁f′(x0)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0在左侧近旁f′(x0)<0,右侧近旁f′(x0)>0,那么f(x0)是极小值.
⑶求函数的极值的步骤:
①求函数的定义域
②求导数f′(x)
③求导数f′(x)=0的根.
④检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号,如果左正、右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
4、函数的最大值与最小值
⑴闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值).
⑵求闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与端点函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
⑶如果函数f(x)在开区间(a,b)或(-∞,+∞)内可导且有惟一的极值点x0,那么当f(x0)是极大值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值;当f(x0)是极小值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.
⑷对于实际问题,如果连续函数f(x)在区间(a,b)内只有一个点使f′(x)=0,而且实际问题本身又可以知道f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值,则f(x0)就是所求的最大值或最小值,这时也就无须判断是极大值还是极小值.>>>>点击下载查看全部《2013高考数学高频考点、提分密码(10份)》
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