题型:
解答题
难度:
一般
设二次函数f(x)=ax
2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:
(1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x:
(2)当x∈(0,2)时,f(x)≤(
)2;
(3)f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
答案
因f(x-4)=f(2-x),则函数的图象关于x=-1对称,∴-
=-1,b=2a,
由(3),x=-1时,y=0,即a-b+c=0,由(1)得,f(1)≥1,由(2)得,f(1)≤1,
则f(1)=1,即a+b+c=1.又a-b+c=0,则b=
,a=
,c=
,故f(x)=
x
2+
x+
.
假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
取x=1,有f(t+1)≤1,即
(t+1)
2+
(t+1)+
≤1,解得-4≤t≤0,
对固定的t∈[-4,0],取x=m,有f(t+m)≤m,即
(t+m)
2+
(t+m)+
≤m.
化简有:m
2-2(1-t)m+(t
2+2t+1)≤0,解得1-t-
≤m≤1-t+
,
故m≤1-t-
≤1-(-4)+
=9
当t=-4时,对任意的x∈[1,9],
恒有f(x-4)-x=
(x
2-10x+9)=
(x-1)(x-9)≤0.
∴m的最大值为9.
∵f(x-4)=f(2-x)
∴函数的图象关于x=-1对称
∴-
=-1b=2a
由③知当x=-1时,y=0,即a-b+c=0
由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0
∴a=
b=
c=
∴f(x)=
x2+
x+
…(5分)
假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x
取x=1时,有f(t+1)≤1?
(t+1)
2+
(t+1)+
≤1?-4≤t≤0
对固定的t∈[-4,0],取x=m,有
f(t+m)≤m?
(t+m)
2+
(t+m)+
≤m?m
2-2(1-t)m+(t
2+2t+1)≤0?1-t-
≤m≤1-t+
…(10分)
∴m≤1-t+
≤1-(-4)+
=9 …(15分)
当t=-4时,对任意的x∈[1,9],恒有
f(x-4)-x=
(x
2-10x+9)=
(x-1)(x-9)≤0
∴m的最大值为9. …(20分)
另∵f(x-4)=f(2-x)
∴函数的图象关于x=-1对称
∴-
=-1b=2a
由③知当x=-1时,y=0,即a-b+c=0
由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1,即工+了+以=1,又a-b+c=0
∴a=
b=
c=
∴f(x)=
x2+
x+
=
(x+1)
2 …(5分)
由f(x+t)=
(x+t+1)
2≤x 在x∈[1,m]上恒成立
∴4[f(x+t)-x]=x
2+2(t-1)x+(t+1)
2≤0当x∈[1,m]时,恒成立
令 x=1有t
2+4t≤0?-4≤t≤0
令x=m有t
2+2(m+1)t+(m-1)
2≤0当t∈[-4,0]时,恒有解 …(10分)
令t=-4得,m
2-10m+9≤0?1≤m≤9 …(15分)
即当t=-4时,任取x∈[1,9]恒有
f(x-4)-x=
(x
2-10x+9)=
(x-1)(x-9)≤0
∴m
max=9 …(20分)
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