已知点，曲线上的动点满足,定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.（1）求线段长的最小值；（2）若以为圆心所作的圆与曲线有公共点，试求半径取最小值时圆的

    题型： 解答题 难度： 一般
    已知点，曲线上的动点满足,定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.
    
    （1）求线段长的最小值；
    （2）若以为圆心所作的圆与曲线有公共点，试求半径取最小值时圆的标准方程.
    答案
    （1）；（2）.
    解析
    试题分析：本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用向量的点乘求出点的轨迹方程，数形结合找出，所以，然后配方法求最值；第二问，利用两圆的位置关系列出不等式，用配方法求最值，得到圆心和半径，写出圆的标准方程.
    试题解析：（Ⅰ）设，则，
    ∴，
    即点轨迹(曲线)方程为，即曲线是．???? 2分
    连∵为切点，，由勾股定理有：．
    又由已知，故．
    即：，
    化简得实数间满足的等量关系为：，即．（4分）
    ∴＝，
    故当时，即线段长的最小值为???? 7分
    （另法）由点在直线：上．
    ∴，即求点到直线的距离．
    ∴（7分）
    （Ⅱ）设的半径为，∵与有公共点，的半径为1，
    即且．??? 8分
    而，?????? 9分
    故当时，．????? 10分
    此时,．??? 11分
    得半径取最小值时的标准方程为．??? 13分
    （另法）与有公共点，半径最小时为与外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点．
    ．
    又，（10分）
    解方程组，得．即，
    ∴所求标准方程为．（13分）
    
    

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