平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)若点A,B,C是Γ上的不同三点,且满足++=0,
题型:
解答题
难度:
一般
平面内动点
P到点
F(1,0)的距离等于它到直线
x=-1的距离,记点
P的轨迹为曲线
Γ.
(1)求曲线
Γ的方程;
(2)若点
A,
B,
C是
Γ上的不同三点,且满足
+
+
=0,证明:△
ABC不可能为直角三角形.
答案
(1)
y2=4
x(2)不可能是直角三角形
解析
(1)由条件可知,点
P到点
F(1,0)的距离与到直线
x=-1的距离相等,所以点
P的轨迹是以
F(1,0)为焦点,
x=-1为准线的抛物线,其方程为
y2=4
x.
(2)证明:方法一,假设△
ABC是直角三角形,且∠
A=90°,
A(
x1,
y1),
B(
x2,
y2),
C(
x3,
y3),则
=(
x2-
x1,
y2-
y1),
=(
x3-
x1,
y3-
y1),且
·
=0,
所以(
x2-
x1)(
x3-
x1)+(
y2-
y1)(
y3-
y1)=0.
因为
xi=
(
i=1,2,3),
y1≠
y2,
y1≠
y3,
所以(
y1+
y2)(
y1+
y3)+16=0.
又因为
+
+
=0,所以
x1+
x2+
x3=3,
y1+
y2+
y3=0,
所以
y2y3=-16,①
又
+
+
=4(
x1+
x2+
x3)=12,
所以(-
y2-
y3)
2+
+
=12,即
+
+
y2y3=6,②
由①②得
+
-16=6,即
-22
+256=0,③
因为
Δ=(-22)
2-4×256=-540<0.
所以方程③无解,从而△
ABC不可能是直角三角形.
方法二,设
A(
x1,
y1),
B(
x2,
y2),
C(
x3,
y3),由
+
+
=0,
得
x1+
x2+
x3=3,
y1+
y2+
y3=0.欲证△
ABC不是直角三角形,只需证明∠
A≠90°.
(ⅰ)当
AB⊥
x轴时,
x1=
x2,
y1=-
y2,从而
x3=3-2
x1,
y3=0,
即点
C的坐标为(3-2
x1,0).
由于点
C在
y2=4
x上,所以3-2
x1=0,即
x1=
,
此时
A,
B,
C(0,0),则∠
A≠90°.
(ⅱ)当
AB与
x轴不垂直时,设直线
AB的方程为
x=
ty+
m(
t≠0),代入
y2=4
x,整理得
y2-4
ty-4
m=0,则
y1+
y2=4
t.
若∠
A=90°,则直线
AC的斜率为-
t,同理可得
y1+
y3=-
.
由
y1+
y2+
y3=0,得
y1=4
t-
,
y2=
,
y3=-4
t.
由
x1+
x2+
x3=3,可得
+
+
=4(
x1+
x2+
x3)=12.
从而
+
+(-4
t)
2=12,
整理得
t2+
=
,即8
t4-11
t2+8=0,④
Δ=(-11)
2-4×8×8=-135<0.
所以方程④无解,从而∠
A≠90°.
综合(ⅰ)(ⅱ)可知,△
ABC不可能是直角三角形.