设两向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
题型:
解答题
难度:
一般
设两向量e
1、e
2满足|e
1|=2,|e
2|=1,e
1、e
2的夹角为60°,若向量2te
1+7e
2与向量e
1+te
2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
答案
∪
解析
由已知得
=4,
=1,e
1·e
2=2×1×cos60°=1.
∴(2te
1+7e
2)·(e
1+te
2)=2t
+(2t
2+7)e
1·e
2+7t
=2t
2+15t+7.欲使夹角为钝角,需2t
2+15t+7<0,得-7<t<-
.
设2te
1+7e
2=λ(e
1+te
2)(λ<0),
∴
,∴2t
2=7,
∴t=-
,此时λ=-
.
即t=-
时,向量2te
1+7e
2与e
1+te
2的夹角为π.
∴夹角为钝角时,t的取值范围是
∪