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已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=λ+μ,且λμ=.(1)求||最小值,并指出此时与,的夹角;(2)是否存在两定点F1,F

http://www.newdu.com 参加讨论 2021/1/14


    题型: 解答题 难度: 一般
    已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足,且λμ=.
    
    (1)求||最小值,并指出此时,的夹角;
    (2)是否存在两定点F1,F2使|||-|||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.
    答案
    (1) ????? (2) 存在?? k=2
    解析
    解:(1)由余弦定理知:
    cos∠ACB==?∠ACB=.
    因为||2==(λ)2
    =λ2+16μ2+2λμ·
    =λ2+16μ2+1≥3.
    所以||≥,当且仅当λ=±1时,“=”成立.
    故||的最小值是,
    此时<,>=<,>=.
    (2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A,B(2,-2),
    设动点M(x,y),
    
    因为,
    所以?
    再由λμ=-y2=1,
    所以,动点M的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,
    即存在两定点F1(-2,0),F2(2,0)使|||-|||恒为常数2,即k=2.
    

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