题型:
解答题
难度:
一般
已知△ABC的三边长|AB|=
,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足
=λ
+μ
,且λμ=
.
(1)求|
|最小值,并指出此时
与
,
的夹角;
(2)是否存在两定点F
1,F
2使||
|-|
||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.
答案
(1)
???
或
?? (2) 存在?? k=2
解析
解:(1)由余弦定理知:
cos∠ACB=
=
?∠ACB=
.
因为|
|
2=
=(λ
+μ
)
2 =λ
2+16μ
2+2λμ
·
=λ
2+16μ
2+1≥3.
所以|
|≥
,当且仅当λ=±1时,“=”成立.
故|
|的最小值是
,
此时<
,
>=<
,
>=
或
.
(2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A
,B(2
,-2),
设动点M(x,y),
因为
=λ
+μ
,
所以
?
再由λμ=
知
-y
2=1,
所以,动点M的轨迹是以F
1(-2,0),F
2(2,0)为焦点,实轴长为2
的双曲线,
即存在两定点F
1(-2,0),F
2(2,0)使||
|-|
||恒为常数2
,即k=2
.