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全国卷与地方卷高考数学分析

作者:费允杰 付…    文章来源:北京新东方学校    点击数:    更新时间:2009/10/6

        一、 总体分析

  2007年高考试卷中,山东卷由于采用了新课标考试大纲,增加了视图、算法、直方图等新内容,部分知识点做了删减,为了达到平稳过渡的目的,高考试卷的平均难度下降了不少,特别是新内容几乎以课文中的例题作为模版来设计试题,几乎都是送分题。山东卷最后一题难度仍然较大,但如果灵活转换思路,这道题目立刻就变为最常见的导数应用的问题。北京卷和两套全国卷仍然实行的是旧的考试内容。全国卷的总体难度仍然略高于北京卷,但北京卷更为灵活,综合性更高。更但仔细分析试卷会发现07年的全国卷出现了不少回归课本基础知识的试题,表明了对基础知识的掌握的重视,另一方面也对于两年后要实行的新课标考试大纲进行平缓的过渡。两套全国卷的最后两题的难度都较大,虽然题型并不新颖,但都需要仔细思考和运用运算技巧才能得到满分。北京卷方面仍然反应其自身的命题特点,强调对于基础知识的综合应用和灵活处理,大部分的题目难度都不大,但也不是看一眼就能得到答案,需要将基础知识代入题目的环境中进行分析才能获得答案。北京卷最后一题作为拉开优等生差距的压轴题,一如既往引入了全新的知识和问题,考查学生的思维能力,题目解答过程并不繁琐,但读懂题目和想到解题思路本身就是最难的一步,能拿到最后一题满分的学生甚少。总而言之,山东卷的因为新课标降低了总体难度,估计08年高考难度会重新回高。全国卷是基础知识与运算能力并重,题目上没有特别新颖之处。北京卷是强调灵活应用基础知识,避免繁琐运算。

        二、 考卷特点详细比较

  1.题型对比

  北京卷:选择题8道共40分,填空题6道共30分,解答题6道共80分

  全国卷:选择题12道共60分,填空题4道共20分,解答题6道共70分

  山东卷:选择题12道共60分,填空题4道共16分,解答题6道共74分

     相比之下,北京卷的题量稍小,能有较充足的时间对题目进行思考,而全国卷(包括一、二)和山东卷的题量稍大,要想拿到高分不仅要能解题正确,还要能解题迅速才行。

  2.难度对比

  各地考卷为了适应当地的实际情况,在难易题分布上也有所不同。全国卷方面题目难易程度层次感清晰,小题中的易题、中题、难题的比例大致是4:5:1(全国卷一小题中的压轴题为第16题,全国卷二小题中的压轴题为第12题)大题中的比例大致是1:3:2。由于大题的最后两题都比较难,因此全国卷的中等成绩的学生比较集中,要想拿到高分必须突破难题的限制。北京卷中的小题中没有难题,易题、中题的比例约为4:6,但北京卷中的易题难度比全国卷易题的难度要大,都是有一定综合性或需要一定思考才能解决的问题。北京卷中的大题中的比例大致是2:3:1,而且北京大题中的中等难度的题目其实都相对比较容易,最后一道难题则是一道完全崭新的题目,需要利用高中的知识来解决超越高中内容的问题。因此北京考区的中上成绩的学生比较集中,要想取得理想的成绩应该要牢牢把握住中等题目,争取不丢分。05、06年山东卷的难度分布与全国卷类似,但是07年的难度分布却让人大跌眼镜,与北京卷相似。这是由于第一次采用新课标考纲,为了保证平稳过渡而刻意降低了难度,因此08年备考的山东地区考生还是需要对难题有一定的准备。

  3.知识点对比

  四套试卷知识点分布对比表,括号内数字为题号。*:各占一部分内容
 山东 北京 全国二 全国一
   
集合与常用
逻辑用语 (2)*(7)(9)* (12)*(20)*
(3)*  (5)(9)*
复数 (1)* (9) (3) (2)
三角函数 (1)*(5)(6)*(20) (1) (13)(8)*(10) (1) (2)*(17)* (1)(12)*(17)
函数 (4)(6)*(16)*
(22)* (2) (8)*(10)*(14)
(19)* (2)*(4) (17)* (8)(9)* (12)*(14)
线性规划 (14)* (6)  (6)*
数列 (10)*(17) (10)*(15) (16)*(21)* (15)(22)*
不等式 (2)*(16)* (7) (6)* (21)* (21)*(22)*
极限、导数与积分 (22)* (19)* (8)*(22)(16)* (20)
向量 (11) (4) (5)(12)*(20)* (3)
立体几何 (3)(19) (3)*(16) (7)(15) (19) (7)(16) (19)
解析几何 (13)(14)*(15)(16)*(21) (17)(19)* (11)(12)*(20)* (4)(6)*(11)(21)*
统计、概率分布 (12)*(18)(8) (18)* (14) (18) (18)
排列组合(计数) (12)* (5)(18)*(20)* (10)(13) (10)(13)
算法与框图 (10)*       
    
        (1)侧重知识点

  各地考卷对于不同的知识点的要求和侧重面是有差异的,虽然各地都声称自己的考卷是最能考察出学生的知识和能力的,但是没有统一的标准,学生只能揣摩当地的出题人“认为”侧重哪一方面是“最好的”。例如,通过分析试卷可以看出,解析几何方面,在山东卷中比北京卷和全国卷占的比例更大,而且山东独立命题三年来,最后两道题中必有一道是,可见山东卷对于解析几何的独有情衷,那么涉及到解析几何的方法和技巧以及数形结合的思想需要引起山东同学的重视。又例如不等式方面,北京和山东卷都出在小题中,只考查最基本的应用,而在全国卷中却是在最后两大题中出现,对于不等式的运算技巧要求甚高。再看立体几何方面,由于新课标削弱了立几的难度,山东卷除去一道视图题,只有一道立体几何大题,考查面窄,而全国卷在选择、填空、解答各有一道立体几何体,考查面宽。另外,山东卷的解斜三角形题目是以一道应用题出现的,体现了新考纲对于知识与实际相结合能力的考察。各地学生应当根据当地的偏重特点来进行复习准备。

        (2)知识点的综合运用

  很明显,山东卷和北京卷小题中的多知识点综合题比较多,而全国卷的单一知识点题目比较多,尤其是全国卷一,16道小题中只有三道小题是多知识点综合题,而且其中的第6题还是解析几何内部的知识点综合,往往单一知识点题目多就要求学生对每个知识点要非常清楚,题目往往比较容易,就更应该小心应对,例如第5题是考察集合的性质,如果学生对集合的相等和集合的互异性、无序性有清楚的认识就能很容易完成,但如果学生处于中下水平就有可能感到无从下手。
山东卷中的多知识综合题是最多的,在16道小题中有9道是多知识点综合题。多知识点综合题对学生的思维综合能力的要求更高,考察面也更广,需要学生能自己分析出题目究竟考了哪些知识,其中哪些知识是题目的重点,才能顺利地解答出题目。例如第10题,是算法与数列的小综合题,其实数列部分只是一个非常简单的等差数列求和,但学生必须先通过算法框图分析出问题的本质才能接着做下去。又例如第16题,考察了对数函数、解析几何、均值不等式这三个知识点,这三个点本身都不难,但没有分析清楚题目的学生往往就不知道应该用什么样的方法来应对此题。

        (3)基础知识工具化

       在高考中,像集合、逻辑、向量等小知识点,既可以单独考查学生对它们的掌握,也可以仅仅把它们作为解决另一个知识点问题的工具。而各地的出题方式恰好反映出了各地对于这类问题命题的特点。重视基础知识的全国卷自然比较喜欢单独考察此类问题,甚至像集合这样绝大多数高考试卷不会独立考的知识点,全国卷一也单列一题。对比一下向量知识点的题目,就会更为明显地发现:全国卷一中的第3题直接考向量垂直的定义,完全是送分题;全国卷二中第5题逆向考察定比分点的定义,第12题则是利用向量条件作为工具得到横坐标的关系进一步求解解析几何问题;北京卷的第4题和山东卷的第11题表面上看起来像是单纯解决向量问题,实质是应用向量作为工具解决平面几何知识。基础知识工具化简化了本知识的难度,但对其本质的理解和应用的要求提高了。近几年来,由于小知识点问题已经出到无法再出更新的问题了,这类问题转化为工具来解决其他知识点成为了高考命题的主流趋势,因此复习这类知识点必须进行和其他问题综合的训练。
  
       (4)一题多解

  高考中少数题目可能出现可以用两种或两种以上的方法来解决的问题。这类题往往能用最为普遍的方法来解决,但是解决起来比较繁琐,而用另一种方法去做非常简便,但是却不能非常容易地想到。例如全国卷一的第11题和山东卷的第13题,题目的情形非常相似,解决的思路也完全一样,既可以写出直线然后计算出和抛物线的交点来求得题解,也可以利用第二定义直接求到焦半径解决问题。显然,用第二种方法比第一种方法能更迅速更准确地得到结果。又如在北京卷中的第17题是关于解析几何的大题,最后一个问求解轨迹的时候,可以根据条件列出方程来求解,也可以利用定义法直接得到,显然后者更优。在高考中,对于大多数学生而言,能多节省一分钟就多给了自己增加分数的可能,因此学生在掌握好基本方法和基础知识之后,可以接受一些思维能力要求更高但是更简便的方法。但是需要注意的是,能多种方法求解的问题在高考中并不是主流。例如前些年特别“流行”的特殊值法,在07年的全国一、二、北京、山东考卷中都很难有用武之地。现在高考的趋势是避免出现能“取巧”来“偷分”的问题(不过事实上这很难避免,例如全国卷一的第10题就可以“取巧”得到结果),因此对于中等成绩的同学还是先要笃实基本方法,再了解一些“取巧”方法,避免本末倒置。
      
        三、 备考注意事项

        各地考卷风格的不同就要求各地考生在备考过程中结合自身情况进行最佳的备考策略。对于全国卷的考生,首先要练好基本功,扎实基础知识,要做到易题绝不丢分。中上成绩的学生应该要注意难题的训练,仔细分析全国卷的压轴题会发现虽然题目的运算相对复杂但所考查的内容都在高中反复强调的知识范围内,而且主要围绕解析几何、函数、数列、不等式中的重难点内容展开,所以反而容易进行针对性地训练。而北京卷的考生需要注意基础知识点的综合运用和灵活处理,这类题其实并不难,关键是要分析清题目所考的知识点并用相对应的方法来解题。对于北京的大部分考生而言不需要花特别大的力气在难题偏题上,因为最难的题目所占分数比例并不大,而且最后的压轴题都是特别新颖的内容,并不容易准备。对于山东的考生而言,新课标中的新内容可能会在今年高考中难度加大,而且题目也会越来越强调与实际相结合,综合多知识点的考题仍然也会保持一定的比例,这样使得题量本身相对较大的考试时间更为紧张,因此山东地区考生不仅要理解、掌握好知识,更要能熟练迅速地解题,腾出更多的时间留下来思考综合性强的难题。

        四、北京新东方高考辅导班的应对策略

       北京新东方学校在仔细研究了各地考卷之后,凭借强大的师资力量(北京四中数学教研组组长谷丹老师、铜陵一中物理教研组组长吴文炎老师、十一学校的陈惠勇老师、山东卷高考数学命题组成员、北京卷高考数学命题组成员、北京新东方专职教师、全国数理化竞赛一等奖获得者、各省高考状元),专门为北京和京外的考生设置了高考数学和理综的住宿班,包括北京卷班、山东卷班和全国卷班(1、2合班上课),请大家参考。(编辑:肖笑)


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