公务员考试中数学运算部分的很多题目都与小学、初中奥数内容相似。换句话说,公务员考题数学运算部分题目拿给初中奥数学生,他们也能求解。
但是,有一点很重要的不同在于,初中学生由于生活阅历有限,不能将一些生活中的知识融会贯通在解题当中,造成求解数学运算题目花费时间较长;而公务员考试的“奥数试题”最重要的要求就是在“尽可能短的时间内”将题目的正确答案选出。
正因为时间上的要求,造成公务员考试时,需要考生将自己生活中的各种知识充分应用到考试当中,发挥智慧,帮助解题。在这些知识当中,作为报考公务员的成年人与初中学生未成年人的区别之一就在于对于“对称性”这个概念的理解。
也许有人听到这个名词就会想到高深的物理、数学等内容。诚然,“对称性”在物理和数学领域是有着严格的定义的,但是我们暂且抛开这些冗繁的表达,在公务员考试中,只要能理解最为日常的“对称性”概念就足够了。
“对称性”是人们观察客观事物形体上的特征而形成的认识,例如正六边形具有六角对称,一个平面圆形具有轴对称,人体具有左右对称,一条连续的花边具有平移对称,其他还有镜像对称等等。这些对称性被看作自然界的一项美学原则,广泛应用于建筑、造型艺术和工艺美术中。
行程问题是公务员考试的热点题型。那么如何将对称性应用于求解公务员考题的数学运算中的行程问题呢?我将举四道公务员考题原题来进行说明。
我们研究的世界基于客观存在的物质,以及物质所在的空间、时间。这四道例题就分别基于“空间对称性”、“时间对称性”和“物质对称性”来进行分析求解。
(1)“空间对称性”
2006年北京社招考题第20题:李大爷在马路边散步,路边均匀地栽着一行树,李大爷从第1棵树走到第15棵树共用了7分钟,李大爷又向前走了几棵树之后就往回走,当他回到第5棵树时共用了30分钟。李大爷步行到第( )棵树就开始往回走
A.32 B
这道题常规思路可以这样求解:假设树与树之间距离是a
第1棵树走到第15棵树,共走了
假设李大爷走到了第n棵树之后返回,则根据题意,
,求出n=33。选B。
这种方法比较常规,在考场上容易想到,但是通过与考生交流,发现有两方面容易错。第一,想不清楚从第5棵树走到第n棵树到底走了n-5个a还是n-5+1个a;第二;方程可能列不对,即便方程列对了,因为方程相对来说比较繁琐,因此还可能解错。
这两个易错的方面,其主要问题是,第一,一般考生习惯于能想清楚从第1棵树走到第n棵树走了n-1个a;第二,方程越简单越好。而这两个易错点归根到底在于李大爷最后没有回到第1棵树,而是停在了第5棵树,李大爷这一去、一回走的长度不同。
针对这个突破口,我们用一种非常规的思路进行求解——假设李大爷最后就是回到了第1棵树。那么李大爷从第5棵树再继续走到第1棵树则需要走
这里就要用到“对称性”了。李大爷这一去、一回走了相同的路程,是对称的,因此所用的时间也相同,即,去用了16分钟,回也用了16分钟。16分钟可以走
利用了“对称性”思想不仅避开了第5棵树到第n棵树之间到底几个a,而且简化了解题的算式,一步到位。
在本题当中,巧妙运用了李大爷一去、一回的路程是对称的,即“空间对称性”,找到了最佳突破口,不失为一种巧解。
(2)“时间对称性”
2003年国家B类考题第9题:某校下午2点整派车去某厂接劳模做报告,往返需1小时。该劳模栽下午1点整就离厂步行向学校走来,中途遇到接他的车,便坐上车去学校,于下午2点40分到达。则汽车的速度是劳模步行速度的( )倍
厂 校 车 人 相遇
这道题我们借助一张示意图来进行分析就会发现,这道题的关键点在于要直到人与车到底是在什么位置碰面。
如果用常规思路发现需要假设人、车的速度分别为x、y,然后通过一个相遇问题找到相遇点,之后再列方程。这样下来等方程列出来了早已过了1分钟,还不能保证方程完全正确,更别提下面还要进行求解。
这道题如果一上来就能用“对称性”的思想,很快就能找到突破口。
首先,汽车一去、一回需要一个小时,又因为一去、一回路程相等,所以花费的时间也相等。即,汽车从学校开到厂里需要半个小时。
其次,汽车中途遇到劳模,再开回来一共画了40分钟,虽然目前不知道他们相遇的地点,但是我们知道汽车从学校开到相遇点再回来,这一去、一回也是路程相等,所花时间也应该相同。因此从学校到遇到劳模,车开了20分钟。即,汽车与劳模正好在2:20这个时刻相遇。
以上两段分析联立起来看,汽车的速度保持一致,从学校到厂走了30分钟,从学校到遇到劳模走了20分钟,因此,学校到厂的距离与学校到相遇点距离之比是3:2。即,厂到相遇点与学校到相遇点的距离比是1:2。
劳模从厂里出发,到达相遇点走了80分钟;而汽车从学校出发,到达相遇点走了20分钟,两者的路程之比是1:2,因此他们的速度之比是(1/80):(2/20)=1:8。选D。
本题充分利用了汽车一去、一回所走的时间相同,利用了“时间对称”的思想,避免了冗长的方程组,题目迎刃而解。
2005年北京社招考题第17题:一架飞机所带燃料最多可飞行6小时,飞机去时顺风速度为
A.2000 B
这道题用常规思路并不难列式,假设飞机飞出x千米就得往回走,根据题意:
,请注意,这里根据题意是一个不等式。
如果这样列式,求解的困难在于要将两个分数通分,有些考生容易错。
利用时间对称性,不动笔,我们就可以选出答案来。
考虑以下两种假设情况:
第一,如果飞机顺风飞出了3个小时,正好是6小时的一半,这样飞机就可飞出3×1500=
所以,飞机飞出的距离一定小于
第二,如果飞机逆风飞回了3个小时,正好是6小时的一半,这样飞机飞回了3×1200=
所以,飞机飞出的距离一定大于
综合两种考虑,可知飞机飞出距离在
将题目所给的“6小时”“对称地”掰成两个3小时来考虑,大大简化了解题过程。
以上列举的三道题,有一个共同特点就是都涉及到了“一去、一回”的行程。由此看来,凡是有“一去、一回”的特点的行程问题,利用对称性思想求解,方法巧、不易错、省时间。
除了这类问题,其余一些类型的行程问题也可以用对称性的思想来求解。
(3)“物体对称性”
2006年国家A类考题第39题:)A、B两地由一条公路相连。甲车从A地,乙车从B地以不同速度沿公路匀速相向开出。两车相遇后分别调头,并以对方的速率行进。甲车返回A地之后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动。最后甲、乙两车同时到达B地。如果最开始时甲车的速率时X米/秒,则最开始时乙车的速率为( )米/秒
A.4X B.2X C.0.5X D.无法判断
这道题一上来就让很多考生觉得不习惯。以往看到的题目,运动的两个物体相遇也好、追击也好,他们自身的速度都不会发生变化。但是这道题不仅两物体的速度都变化了,还都掉头运行,即运动的方向也发生了变化。考生在考场上一紧张马上犯蒙,根本不知道应该如何列式求解,不仅这道题无从下手,更会影响到后面解题的情绪。
我们暂且抛开这道题,来谈论一个轻松的话题。半个月之前,2007年国际斯诺克锦标赛落下帷幕。斯诺克台球在中国的普及大半归功于“神奇小子”丁俊晖位居世界斯诺克顶级职业选手之列。有观看或者玩过斯诺克台球的人都有过这样的经历:当你用一颗红色的球去撞击另一颗红色的球(考虑直着碰撞这种简单的情况),如果撞击瞬间你闭上双眼之后再睁开看撞击后的两个球会有两种不同的感觉。第一,两个球发生了碰撞,运动的速度和方向都发生了改变。然而,在物理中,可以运用简单的物理守恒定律证明,这两个球的速度相互交换、运动方向也相互交换。由此你会发现一个有趣的现象——你完全可以这样考虑这个过程,即,第二,两个球没有发生碰撞,无非是两个球相互“穿过”了对方,依然按照原先的路线和速度行进下去。
之所以会有第二种“错觉”,是因为这里的两颗球大小、形状、颜色完全相同,你无法分辨出谁是谁,他们是“对称”的。
回过头来看这到火车问题,其实跟台球的碰撞问题完全类似——无非是两列火车发生了“碰撞”,或者这样描述这个过程——甲、乙两列外形、颜色、长度完全相同的火车从A、B分别开出,中途相遇之后各自继续保持原来的速度和方向前进,等甲车运行到B时,恰好乙车也回到了B。这样以来,甲运行了一个AB之间的距离,乙运行了两个AB之间的距离,它们所花时间相同,速度之比就是1:2。选B。
在回来看这道题,发现解题的突破口在于,甲、乙两车虽然速度交换,但是运行方向也进行了“交换”。这就有点儿数学中“负负得正”的感觉,最后的结果跟两车速度、方向都没有交换一样。
通过以上四道题,我们看到在公务员考试的热点题目类型“行程问题”中,巧妙的运用了“对称性”的思想,很多看似繁杂的题目一步到位、迎刃而解。
其实“对称性”的功效远不仅如此,不仅仅在行程问题的其余问题中还可以得到应用,还能在更多的其他类型的题目中潜移默化的发挥巨大的作用。这里将这个问题开放地留给各位备考考生,进行自我理解和运用。
物理学
作为泱泱大国今后的公务员,各位考生应该将自己的眼光放长远,不仅仅为了这次考试,将“对称性”的思想记在心中,在今后的学习、工作中,它将是你解决问题的“金钥匙”。
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